高中数学 2.4平面向量的数量积教案4 新人教a版必修4

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1、平面向量的数量积教案　　教学目标　　1．理解掌握平面内两向量夹角的概念及取值范围[0，π]．　　2．理解掌握两个非零向量的数量积(内积)cosθ的定义及其几何意义．　　3．理解掌握两向量共线、垂直的几何判定．　　4．理解掌握平面向量数量积的五个重要性质．　　教学重点和难点　　重点：本节课是全章的重点内容，所有内容都非常重要，主要有：平面向量夹角的概念；平面向量数量积的定义；平面向量数量积的几何意义；平面向量共线、垂直的判定；平面向量数量积的五个重要性质．　　难点：对平面向量数量积的定义，平面向量数量积的几何意义，平面向量数量积的五条重要性质的正确理解

2、和掌握．　　教学过程设计　　(一)学生阅读课文．　　阅读思考题：　　(1)怎样定义平面内两向量的夹角．　　(2)什么是平面向量的数量积，它的几何意义是什么？　　(3)怎样应用平面向量的数量积判断两直线的垂直和平行．　　(4)平面向量的数量积有那些重要性质．　　(二)教师在学生回答思考题的基础上进行讲评．　　1．平面向量的夹角：　　(1)两向量的夹角：已知非零向量，作，∠AOB＝θ，(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角．当θ＝0时，与同向；当θ＝π时，与反向．　　(2)两向量的垂直：如果与的夹角是90°，则说与垂直，记作．　　2．平面向量的数量积：　　已积两

3、个非零向量和，它们的夹角为θ，把数量

4、a

5、·

6、b

7、cosθ叫做与的数量积(内积、点积)记作，即cosθ．并且规定零向量与任一向量的数量积为0．　　(1)两个平面向量的数量积是一个数量，不是向量，它的值等于两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．　　(2)两平面向量的数量积与数a与数b的积a·b不同，的数值与向量的夹角有关，而a·b没有这一因素，因之二者有不同之处．　　如当a≠时，由＝0不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量即有＝0，这与a·b＝0，则a＝0或b＝0不同．　　又如，已知实数a、b、c，(b≠0)由ab

8、＝bc我们可以推出a＝c，但对于向量，这种推理是不正确的．并不能一定推出．　　即cos＝cos这里表示向量与的夹角，表示向量与的夹角，由cos＝cos可推得，，推不出．　　3．两向量共线与垂直的判定　　两向量共线，若与共线同向，θ＝0．则；若与共线反向，θ＝π，则　　　　重要方法：　　4．平面向量数量积的几何意义：　　(1)投影：在cosθ中，cosθ叫做向量在方向上的投影．当θ为锐角时，它是正值，当θ为钝角时，它是负值；当θ＝90°时，它是零；当θ＝0°时，它是；当θ＝180°时，它是－．　　(2)的几何意义是：数量积等于的长度与在的方向上的投影c

9、osθ的乘积．　　5．平面向量数量积的五个重要性质：　　设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，θ是与的夹角．　　(1)(提问学生，给出证明)　　证：　　(2)　　证：，向量与的夹角为90°，　　　　＝0，即cosθ＝0，cosθ＝0，θ＝90°　　　　(3)当与同向时，；当与反向时，．特别地　　　　证：与同向，与的夹角为0°．　　　　与反向，与的夹角为180°．　　　　因与的夹角为0°．　　　　即　　(4)cosθ＝．　　证：∵　　这是求两向量夹角时常用的公式．　　(5)　　证：．　　这里

10、cosθ

11、≤1．∴　　在以上这五个性质中，较常用的是：　

12、　　　　　cosθ＝同学们要牢牢掌握．　　(三)学生练习，教师辅导．　　练习1：课本练习2．　　解：＝8，＝6，、夹角60°．　　·＝·cos60°＝24．　　练习2：课本练习3．　　　　　　θ＝135°．　　练习3：课本练习4．　　解：△ABC中，＝，＝．　　当＜0时，、夹角为钝角，△ABC为钝角三角形．　　当＝0时，⊥，△ABC为直角三角形．　　　　解：　　　　　　练习5：＝4，与的夹角为30°，求与方向上的投影．　　　　练习6：已知＝－40，＝10，＝8，求与的夹角θ．　　　　　　(四)教师小结．　　1．平面向量的数量积，射影．　　2．平面向量

13、的性质，(2)，(3)，(4)．　　(五)作业