高中数学 2.4 向量的数量积（1）教案 新人教a版必修1

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1、江苏省连云港灌云县第一中学高中数学2.4向量的数量积（1）教案新人教A版必修1教学目标：1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解数量积的几何意义，掌握平面向量数量积的运算性质；2．通过知识发生、发展过程的教学，使学生感受和领悟“数学化”过程及思想；3．通过师生互动，自主探究，交流与学习，培养学生探求新知识及合作交流的学习品质．教学重点：向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；教学难点：向量数量积的含义、数量积的性质．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、问题情境问题1　向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘”

2、呢？SF二、学生活动问题2　物理学中，物体所做的功的计算方法：（其中是与的夹角）三、建构数学问题3　求功的运算中可以抽象出什么样的数学运算？1．向量夹角．已知两个向量和，作=，=，则（）叫做向量与的夹角．当时，与同向；当时，与反向；当时，与的夹角是，我们说与垂直，记作．2．向量数量积的定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积，记作，即．说明：①实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量，不是向量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关，符号由cosq的符号所决定；实数与向量的积是一个向量；②两个向

3、量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积×，书写时要严格区分．符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；③零向量与任一向量的数量积是；④在实数中，若¹0，且，则；但是在数量积中，若¹，且=，不能推出=，因为其中cosq有可能为0；3．数量积的性质：设、都是非零向量，是与的夹角，则①；（

4、

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7、≠0）②当与同向时，；当与反向时，；特别地：或；③；④；（¹，¹）C4．数量积的几何意义．（1）投影的概念：如图，=，过点作垂直于直线，垂足为，则．我们把（││cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，当为锐角时射影为正

8、值；当为钝角时射影为负值；当为直角时射影为0；当=0°时射影为；当=180°时射影为．（2）提出问题：数量积的几何意义是什么？期望学生回答：数量积等于的长度

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10、与在的方向上的投影

11、

12、的乘积．四、数学运用1．例题．例1　判断正误，并简要说明理由．①·=；②·=；③－=；　④=

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16、；⑤若，则对任一非零，有；⑥=0，则与至少有一个为；⑦对任意向量、、都有()·=·(×)；⑧与是两个单位向量，则=例2　已知向量与向量的夹角为，

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18、＝2，

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20、＝3，分别在下列条件下求：（1）；（2）∥；（3）⊥．例3　已知正的边长为，设=，=，=，求．变式　已知，，

21、，且，求．2．巩固．（1）当与同向时，=___，当与反向时，=___，特别地，·，

22、

23、；（2）⊥，；（3）已知

24、

25、=10，

26、

27、=12，且(3)·()，则与的夹角是_____；（4）已知

28、

29、=2，

30、

31、=，与的夹角为，要使-与垂直，；（5）已知

32、

33、=4，

34、

35、=3，①若与夹角为，求(+2)·(-3)；②若(2-3)·(2+)=61，求与的夹角．五、回顾反思1．有关概念：向量的夹角、投影、向量的数量积；2．向量数量积的几何意义和物理意义；3．向量数量积的六条性质．