2019年高考数学一轮复习 课时作业（四十九）第2课时 最值﹑范围﹑证明问题 文

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1、课时作业(四十九)第2课时最值﹑范围﹑证明问题时间/45分钟分值/72分基础热身1.(12分)[2017·石家庄二检]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,且长轴长为8,T为椭圆上一点,直线TA,TB的斜率之积为-.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P,Q两点,求·+·的取值范围.2.(12分)[2017·湖北七市(州)联考]在直角坐标系xOy中取两个定点A1(-,0),A2(,0),再取两个动点N1(0,m),N2(0,n),且mn=2.(1)求直线A1N1与A2N2的交点M的轨迹C的方程;(2)

2、过R(3,0)的直线l与轨迹C交于P,Q两点,过P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N,F为轨迹C的右焦点,若=λ(λ>1),求证:=λ.能力提升3.(12分)[2017·北京西城区二模]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率是,且过点P(,1).直线y=x+m与椭圆C相交于A,B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)求△PAB的面积的最大值;(3)设直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,判断PM,PN的大小关系,并加以证明.4.(12分)[2017·银川一中三模]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,离心率为,P为C上动点,且满足=λ(λ

3、>0),=,△QF1F2面积的最大值为4.(1)求Q点的轨迹E的方程和椭圆C的方程;(2)直线y=kx+m(m>0)与椭圆C相切且与曲线E交于M,N两点,求MN的取值范围.5.(12分)[2017·中原名校联考]已知双曲线C:-y2=1的左、右顶点分别是A1,A2,双曲线C上的动点P,Q关于x轴对称,直线A1P与A2Q交于点M.(1)求动点M的轨迹D的方程;(2)若点E(0,2),轨迹D上的点A,B满足=λ,求实数λ的取值范围.难点突破6.(12分)[2017·武汉二模]已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,直线x=4与x轴的交点为P,与抛物线的交点为Q

4、,且QF=PQ.(1)求抛物线的方程;(2)如图K49-2所示,过F的直线l与抛物线相交于A,D两点,与圆x2+(y-1)2=1相交于B,C两点(A,B两点相邻),过A,D两点分别作抛物线的切线,两条切线相交于点M,求△ABM与△CDM的面积之积的最小值.图K49-2第2课时最值﹑范围﹑证明问题1.解:(1)设T(x,y),则直线TA的斜率k1=,直线TB的斜率k2=.于是由k1k2=-,得·=-,整理得+=1.∴椭圆C的方程为+=1.(2)当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y=kx+2,点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).将直线PQ的

5、方程与椭圆方程联立得得(4k2+3)x2+16kx-32=0.易知Δ>0,x1+x2=-,x1x2=-,从而,·+·=x1x2+y1y2+[x1x2+(y1-2)(y2-2)]=2(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4==-20+,所以-20<·+·≤-.当直线PQ的斜率不存在时,·+·的值为-20.综上所述,·+·的取值范围为.2.解:(1)依题意知直线A1N1的方程为y=(x+),①直线A2N2的方程为y=-(x-),②设M(x,y)是直线A1N1与A2N2的交点,①×②得y2=-(x2-6),又mn=2,整理得+=1,即M的轨迹C的方程为+=1(x

6、≠±).(2)证明:由题意可设l:x=ty+3,P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x1,-y1).由⇒(t2+3)y2+6ty+3=0().由=λ⇒(x1-3,y1)=λ(x2-3,y2),故x1-3=λ(x2-3),y1=λy2.要证=λ,即证(2-x1,y1)=λ(x2-2,y2),只需证2-x1=λ(x2-2),只需证=-,即证2x1x2-5(x1+x2)+12=0,即证2t2y1y2+t(y1+y2)=0,由()得2t2y1y2+t(y1+y2)=2t2·-t·=0,本题得证.3.解:(1)因为椭圆C的离心率是,所以==1-=,即a2=2b2.由

7、解得所以椭圆C的方程为+=1.(2)将y=x+m代入+=1,消去y整理得x2+mx+m2-2=0.令Δ=2m2-4(m2-2)>0,解得-2

8、x2+(m-2)(x1+x2)-2(m