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《2019年高考数学总复习 课时作业（五十四）第54讲 第2课时 最值﹑范围﹑证明问题 理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课时作业(五十四) 第54讲 第2课时 最值﹑范围﹑证明问题基础热身1.(12分)[2017·重庆调研]如图K54-1,已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左顶点为A,右焦点为F(1,0),过点A且斜率为1的直线交椭圆E于另一点B,交y轴于点C,=6.(1)求椭圆E的方程;(2)过点F作直线l与椭圆E交于M,N两点,连接MO(O为坐标原点)并延长交椭圆E于点Q,求△MNQ面积的最大值及取最大值时直线l的方程.图K54-12.(12分)[2017·临汾模拟]已知动圆C与圆C1:(x-2)2+y2=1相外
2、切,又与直线l:x=-1相切.(1)求动圆圆心轨迹E的方程;(2)若动点M为直线l上任一点,过点P(1,0)的直线与曲线E相交于A,B两点,求证:kMA+kMB=2kMP.能力提升3.(12分)[2017·广州模拟]已知定点F(0,1),定直线l:y=-1,动圆M过点F,且与直线l相切.(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;(2)过点F的直线与曲线C相交于A,B两点,分别过点A,B作曲线C的切线l1,l2,两条切线相交于点P,求△PAB外接圆面积的最小值.4.(12分)[2017·永州一模]已知曲线C上
3、的任一点到点F(0,1)的距离减去它到x轴的距离的差都是1.(1)求曲线C的方程;(2)设直线y=kx+m(m>0)与曲线C交于A,B两点,若对任意k∈R,都有·<0,求m的取值范围.5.(12分)[2017·蚌埠二模]已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A(-,0),B(,0),离心率为.设点P(a,t)(t≠0),连接PA交椭圆于点C,坐标原点是O.(1)证明:OP⊥BC;(2)若三角形ABC的面积不大于四边形OBPC的面积,求
4、t
5、的最小值.难点突破6.(12分)[2017·石嘴山三
6、模]经过原点的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)交于A,B两点,点P为椭圆上不同于A,B的一点,直线PA,PB的斜率均存在,且直线PA,PB的斜率之积为-.(1)求椭圆C的离心率;(2)设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,斜率为k的直线l经过椭圆的右焦点,且与椭圆交于M,N两点,若点F1在以线段MN为直径的圆内部,求k的取值范围.第2课时1.解:(1)由题知A(-a,0),C(0,a),故B-,,代入椭圆E的方程得+=1,结合a2-b2=1,得a2=4,b2=3,故椭圆E的方程为+=1.(2)由题知
7、,直线l不与x轴重合,故可设l:x=my+1,代入+=1得(3m2+4)y2+6my-9=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=,连接ON,由Q与M关于原点对称知,S△MNQ=2S△MON=
8、y1-y2
9、===,∵≥1,∴3+≥4,∴S△MNQ≤3,当且仅当m=0时,等号成立,∴△MNQ面积的最大值为3,此时直线l的方程为x=1.2.解:(1)由题知,动圆C的圆心到点(2,0)的距离等于到直线x=-2的距离,所以由抛物线的定义可知,动圆C的圆心轨迹是以(2,0)为焦点,
10、x=-2为准线的抛物线,所以动圆圆心轨迹E的方程为y2=8x.(2)证明:由题知当直线AB的斜率为0时,不符合题意,所以可设直线AB的方程为x=my+1,联立消去x,得y2-8my-8=0,Δ=64m2+32>0恒成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(-1,t),则y1+y2=8m,y1·y2=-8,x1+x2=8m2+2,x1·x2=1,而2kMP=2·=-t,kMA+kMB=+====-t,所以kMA+kMB=2kMP.3.解:(1)设点M到直线l的距离为d,依题意知=d.设M(x,y
11、),则有=
12、y+1
13、,化简得x2=4y,所以所求轨迹C的方程为x2=4y.(2)设lAB:y=kx+1,代入x2=4y中,得x2-4kx-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1·x2=-4,所以=·
14、x1-x2
15、=4(k2+1).因为C的方程为x2=4y,即y=,所以y'=,所以直线l1的斜率k1=,直线l2的斜率k2=.因为k1k2==-1,所以PA⊥PB,即△PAB为直角三角形,所以△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点,线段AB是直径.因为=4(k2+1),所以
16、当k=0时,线段AB最短,长度为4,此时外接圆的面积最小,为4π.4.解:(1)设曲线C上的任一点为(x,y),易知y≥0,则-
17、y
18、=1,得x2=4y,即曲线C的方程为x2=4y.(2)将y=kx+m代入x2=4y,得x2-4kx-4m=0.当m>0时,Δ=16k2+16m>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4m,=(x1,y1-1),=(x2,y2-1),∴·=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+(kx1+m-1)
