2020高考数学一轮复习课时作业56证明、最值、范围、存在性问题理.doc

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1、课时作业56　证明、最值、范围、存在性问题[基础达标]1．[2018·全国卷Ⅰ]设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.解析：(1)由已知得F(1,0)，l的方程为x＝1.由已知可得，点A的坐标为或.又M(2,0)，所以AM的方程为y＝－x＋或y＝x－.(2)证明：当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时

2、，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1<，x2<，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝＋.由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得kMA＋kMB＝.将y＝k(x－1)代入＋y2＝1，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0.从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补．所以∠OMA＝∠OMB.综上，∠OMA＝∠OMB.2．[2018·北京卷]已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1,2)，过点Q(0,1

3、)的直线l9与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，＝λ，＝μ，求证：＋为定值．解析：(1)因为抛物线y2＝2px过点(1,2)，所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k<0或0

4、围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)．(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝.直线PA的方程为y－2＝(x－1)．令x＝0，得点M的纵坐标为yM＝＋2＝＋2.同理得点N的纵坐标为yN＝＋2.由＝λ，＝μ，得λ＝1－yM，μ＝1－yN.所以＋＝＋＝＋＝·＝·＝2.9所以＋为定值．3．[2019·石家庄摸底考试]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A是椭圆上任意一点，△AF1F2的周长为4＋2.9(1)求椭圆C的方程；(2)过点Q(－4,0)任作一

5、动直线l交椭圆C于M，N两点，记＝λ，若在线段MN上取一点R，使得＝－λ，则当直线l转动时，点R在某一定直线上运动，求该定直线的方程．解析：(1)因为△AF1F2的周长为4＋2，所以2a＋2c＝4＋2，即a＋c＝2＋.又椭圆的圆心率e＝＝，所以a＝2，c＝，所以b2＝a2－c2＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由题意可知，直线l的斜率必存在．故可设直线l的方程为y＝k(x＋4)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y，得(1＋4k2)x2＋32k2x＋64k2－4＝0，由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝，由＝λ，

6、得(－4－x1，－y1)＝λ(4＋x2，y2)，所以－4－x1＝λ(x2＋4)，所以λ＝－.设点R的坐标为(x0，y0)，由＝－λ，得(x0－x1，y0－y1)＝－λ(x2－x0，y2－y0)，所以x0－x1＝－λ(x2－x0)，9解得x0＝＝＝.而2x1x2＋4(x1＋x2)＝2×＋4×＝－，(x1＋x2)＋8＝＋8＝，所以x0＝－1.故点R在定直线x＝－1上．4．[2019·惠州高三调研]已知C为圆(x＋1)2＋y2＝8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A(1,0)和AP上的点M，满足·＝0，＝2.(1)当点P在圆

7、上运动时，求点Q的轨迹方程；(2)若斜率为k的直线l与圆x2＋y2＝1相切，与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤·≤时，求k的取值范围．解析：(1)由题意知MQ是线段AP的垂直平分线，所以

8、CP

9、＝

10、QC

11、＋

12、QP

13、＝

14、QC

15、＋

16、QA

17、＝2>

18、CA

19、＝2，所以点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴长为2的椭圆，所以a＝，c＝1，b＝＝1，故点Q的轨迹方程是＋y2＝1.(2)设直线l：y＝kx＋t，F(x1，y1)，H(x2，y2)，直线l与圆x2＋y2＝1相切⇒＝1⇒t2＝k2＋1.联立，得⇒(1＋2k

20、2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，Δ＝16k2t2－4(1＋2k2)(2t2－2)＝8(2k2－t2＋1)＝8k2>0⇒k≠0，x1＋x2＝，x1x2＝，所以·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋