2019年高考数学一轮复习 课时分层训练53 抛物线 理 北师大版

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1、课时分层训练(五十三)　抛物线A组　基础达标一、选择题1．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)A．－　　　　　　　B．－1C．－D．－C　[由已知，得准线方程为x＝－2，所以F的坐标为(2,0)．又A(－2,3)，所以直线AF的斜率为k＝＝－.]2．(2016·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　)A.　　B．1C.　　　　D．2D　[∵y2＝4x，∴F(1,0)．又∵曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴P(1,2)．将点P(1

2、,2)的坐标代入y＝(k＞0)得k＝2.故选D.]3．(2017·广东茂名二模)若动圆的圆心在抛物线y＝x2上，且与直线y＋3＝0相切，则此圆恒过定点(　　)A．(0,2)B．(0，－3)C．(0,3)D．(0,6)C　[直线y＋3＝0是抛物线x2＝12y的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y＝－3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)．]4．(2018·云南二检)已知点M是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是(2,2)，则p的值为(　　)【导学号：79140291】A．1B．2C．3D．4D　[设M(x，

3、y)，则由题意，得＝2，＝2，则x＝4－，y＝4.又点M在抛物线C上，所以42＝2p，解得p＝4，故选D.]5．(2018·长沙模拟(二))已知点P(x0，y0)是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆C：(x＋2)2＋(y－4)2＝1上的一个动点，则x0＋

4、PQ

5、的最小值为(　　)A．2－1B．2C．3D．4C　[设抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，过点P(x0，y0)作准线l：x＝－1的垂线，垂足为N，则x0＋

6、PQ

7、＝

8、PN

9、＋

10、PQ

11、－1＝

12、PF

13、＋

14、PQ

15、－1≥

16、CF

17、－2＝－2＝5－2＝3，当且仅当C，P，F三点共线且点Q在线段CF上时取等号，则x0＋

18、PQ

19、

20、的最小值是3，故选C.]二、填空题6．(2018·成都二诊)设抛物线C：y2＝2x的焦点为F.若抛物线C上点P的横坐标为2，则

21、PF

22、＝________.　[由题意知p＝1，点P的横坐标xP＝2，则由抛物线的定义，得

23、PF

24、＝xP＋＝2＋＝.]7．(2018·西宁检测(一))已知点P(2,1)，若抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是________．2x－y－3＝0　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2，且y＝4x1，y＝4x2，两式相减得2(y1－y2)＝4(x1－x2)，且x1≠x2，则直线AB的斜率kAB＝＝2

25、，又弦AB过点P，则所求直线方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.]8．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y2－x2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝__________.2　[y2＝2px的准线为x＝－.由于△ABF为等边三角形．因此不妨设A，B.又点A，B在双曲线y2－x2＝1，从而－＝1，所以p＝2.]三、解答题9.如图862所示，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点．图862(1)若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；(2)若线段

26、AB

27、＝20，求直线l的方程．[

28、解]　(1)由已知得抛物线的焦点为F(1,0)．因为线段AB的中点在直线y＝2上，所以直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则由得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，所以2y0k＝4.又y0＝2，所以k＝1，故直线l的方程是y＝x－1.(2)设直线l的方程为x＝my＋1，与抛物线方程联立得消元得y2－4my－4＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，Δ＝16(m2＋1)＞0.

29、AB

30、＝

31、y1－y2

32、＝·＝·＝4(m2＋1)．所以4(m2＋1)＝20，解得m＝±2，所以直线l的方程是x＝±2y

33、＋1，即x±2y－1＝0.10．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，·＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以

34、AB

35、为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程.【导学号：79140292】[解]　(1)设l：x＝my－2，代入y2＝2px中，得y2－2pmy＋4p＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则x1x2＝＝4，因为·＝x1x2＋y1y2＝4＋4p＝12，可得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x.(2)由(1)知y2＝4x，p＝2，可