高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 第1课时 函数的单调性教案 新人教a版必修1

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1、1.3.1　第1课时　函数的单调性1.知识与技能(1)使学生从形与数两个方面理解函数单调性的概念;(2)初步掌握利用函数图象和单调性的定义判断、证明函数单调性的方法.2.过程与方法(1)培养从概念出发,进一步研究其性质的意识及能力;(2)感悟数形结合、分类讨论的数学思想.3.情感、态度与价值观领会用运动的观点去观察分析事物的方法,培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯;由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望,突出学生的主观能动性,激发学生学习的兴趣.重点:函数单调性的概念,判断并证明函数的单调性.难点:根据

2、定义证明函数的单调性和利用函数图象判断单调性.(1)重点的突破:以学生们熟悉的函数(一次函数、二次函数)为切入点,从直观入手,顺应学生的认知规律,让学生对图象的上升和下降有一个初步感性认识,在此基础上,教师通过启发式提问,层层分解函数单调性的定义中所涉及的关键词(如:区间内,任意,当x1

3、结出单调函数的定义.(2)难点的解决:首先让学生明确用函数图象判断函数单调性是最直观的一种方式,在此基础上通过实例提出问题:当函数图象不能作出时,应如何处理函数单调性,通过分组讨论,让学生明确用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性,从而研究函数的单调性,从研究函数的图象过渡到研究函数的解析式.最后师生共同总结利用定义证明函数单调性的基本步骤:设值,作差,变形,断号,定论.函数单调性的运算性质及相关结论1.函数单调性的等价定义当(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0时,函数y=f(x)是增函数;当(x1-x2)·

4、[f(x1)-f(x2)]<0时,函数y=f(x)是减函数(x1,x2是函数y=f(x)的同一个单调区间中的任意两个值).2.函数单调性的运算性质若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则在区间I上具有以下性质:(1)f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.(2)f(x)与a·f(x),当a>0时具有相同的单调性;当a<0时具有相反的单调性.(3)当f(x)恒为正值或恒为负值时,f(x)与具有相反的单调性.给出证明如下:若函数y=f(x)是增函数,则(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,从而

5、(x1-x2)·=-(x1-x2)<0,故函数y=是减函数.同理可得,若函数y=f(x)是减函数,则函数y=是增函数.(4)在f(x),g(x)的公共区间I上,有如下结论:f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)增函数增函数增函数不能确定单调性增函数减函数不能确定单调性增函数减函数减函数减函数不能确定单调性减函数增函数不能确定单调性减函数(5)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,若两者都恒大于零,则f(x)·g(x)也是增(减)函数;若两者都恒小于零,则f(x)·g(x)是减(增)函数.典例已知y=f(

6、x)与y=g(x)在区间A上均为增函数,利用函数单调性的定义判断下列函数在区间A上的增减性.(1)y=-2f(x);(2)y=f(x)+g(x).解:(1)对任意的x1,x2∈A,设x1

7、x1)>0,g(x2)-g(x1)>0,∴[f(x2)+g(x2)]-[f(x1)+g(x1)]=[f(x2)-f(x1)]+[g(x2)-g(x1)]>0.∴f(x2)+g(x2)>f(x1)+g(x1),∴y=f(x)+g(x)在区间A上是增函数.