《函数的积分学》word版

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1、第二讲一元函数的积分学一、不定积分的计算1.直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法。例1计算下列积分（1）；（2）。2.第一换元法（凑微分法）例2计算下列积分：（1）；（2）；例3计算下列积分：（1）；（2）；（3）。复杂积分式的凑微分法将被积分式写成或，其中较复杂。对或构成的主要部分求导，若其导数为的常数倍，则或，其中为常数。例4求下列不定积分：（1）；（2）；（3）。（4），（）下面这些例子，可以通过分子分母同乘以一个因子，再进行凑微分。例5求下列不定积分：（1）；（2）；（3

2、）。形如（其中为常数，且）的积分，可以先将分母改写成，然后再进行积分。例6计算下列积分：（1）；（2）。3．第二换元法（1）三角代换：当被积函数含有，所用代换；当被积函数含有，所用代换；当被积函数含有，所用代换；例7求下列不定积分：（1）；（2）；（3）。（4）。（2）倒代换。当分母关于的最高幂次比分子至少高于一次例8求下列不定积分（1）；（2）；（3）。（3）指数代换当被积函数是由指数函数所构成的代数式。例9求下列不定积分：（1）；（2）。（4）其他代换例10计算下列积分：（1），作变换，或利用。（2），作

3、变换或利用。4.分部积分法，关键在，的选择。选择方法：LIATE.L-对数函数；I-反三角函数；A-代数函数；T-三角函数，E-指数函数。例11求下列不定积分：（1）；（2）（）；（3）（表格法）；（4）（表格法）；（5）。例12计算下列不定积分：（1）；（2）。例13建立下列不定积分的递推公式：（1）；（2），利用。（3）。5.抽象函数的不定积分例14已知的一个原函数是，计算。例15设，计算。例16计算不定积分。6.分段函数的积分：例17计算不定积分。二、定积分和广义积分1.利用定积分的定义求极限例1求极限

4、。例2求极限。2.求极限通常的做法是将被积函数在积分区间内适当地放大或缩小。然后利用夹逼极限准则求极限。注意：一般情况下以n的指数幂的因子保留。例3求下列极限：（1）；（2）。3．定积分的估计例4证明下列不等式：（1）；（2）（）。例5设，在内恒有，记，则有（）(A);(B);(C);(D)不确定.4.变上限函数的积分例6设，，则当时，（）。（A）与为同阶但非等价无穷小；（B）与为等价无穷小；（C）是比更高阶的无穷小；（D）是比更低阶的无穷小。例7设为连续函数，且不恒为零，，其中，，则I的值（）。（A）与s和

5、t有关；（B）与s、t与x有关；（C）与s有关，与t无关；（D）与t有关，与s无关。例8已知函数连续，，求。例9设在处连续，则。例10a，b，c为何值时，等式。例11由方程，确定y为x的函数，求。例12设，，则。（A）；（B）；（C）；（D）。5．对称区间上的定积分：例13计算下列定积分（1）;（2）；（3）注：利用。6．分段函数的积分。例14设，求例15计算积分。7．定积分有关的函数方程例16．设函数可微，且对任意满足，求的一般表达式。例17．设，求。8．定积分等式的证明例18设函数在闭区间上连续，在开区间

6、内可导，且，求证：在开区间内至少存在一点，使得。例19已知在上连续，在内可导，且，，证明存在，使得。对于证明在积分限中存在一点使得等式成立的问题，可以采用构造辅助函数的方法，辅助函数的构造方法：（1）将换成x，移项使得等式一端为零，则另一端即为所作的辅助函数或者；（2）验证满足介值定理或微分中值定理的条件；（3）由介值定理或中值定理，即可证得命题。例20设在上可导，且，，记，，证明：存在唯一的，使得。辅助函数：。例21设，在上连续，证明至少存在一点，使得辅助函数：9．不等式的证明（1）构造辅助函数：将要证结论

7、中的积分上限（或下限）换成，使式中相同的字母也换成，移项使不等式一端为0，则另一端的表达式即为所作的辅助函数。证明思路：通过辅助函数的单调性及其在端点的符号即可证明。例22设在上连续，证明。辅助函数：。（2）利用。例23设在上有连续的导数，且，试证。须利用柯西不等式：（3）利用泰勒公式例24设在闭区间上连续，且有二阶导数，，，。证明：存在一点，使得。提示：（1）先证明存在一点，使得并取得最大值；（2）利用泰勒展开及即可证明。10．其它例题设的一个原函数，且，，求.解：，，，由知，，