2015-2016高中数学 第一章 统计案例章末总结 新人教a版选修1-2

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1、【金版学案】2015-2016高中数学第一章统计案例章末总结新人教A版选修1-2回归方程及其应用对所抽取的样本数据进行分析，分析两个变量之间的关系——线性关系或非线性关系，并由一个变量的变化去推测另一个变量的变化，这就是对样本进行回归分析．　某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x(x取整数)元与日销售量y台之间有如下对应数据：单位x/元35404550日销售量y/台56412811(1)画出散点图并说明y与x是否具有线性相关关系．如果有，求出线性回归方程(方程的斜率保

2、留一个有效数字)．(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(1)写出P关于x的函数关系式，并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．分析：作出散点图，根据散点图观察是否具有线性相关关系．解析：(1)散点图如图所示：从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量具有线性相关关系．(2)设回归直线方程为＝＋x.∵＝42.5，＝34，∴＝＝－≈－3，＝－b＝34－(－3)×42.5＝161.5.∴＝161.5－3x.(2)由题意，有P＝(161.5－3x)(x－30)＝－3x2＋251.

3、5x－4845.∴当x＝≈42时，P有最大值．即预测销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．判断两个变量之间是否有线性相关关系一般有两种方法：一是计算样本相关系数；二是画散点图．两种方法要结合题目的要求合理选取，也可同时使用，则判断更加准确．►变式训练1．从某居民区随机抽取10个家庭，获得i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得＝720.(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程＝x＋；(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千

4、元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝，a＝－b，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为＝x＋.解析：(1)由题意知：n＝10，＝i＝＝8，＝i＝＝2.又Lxx＝iyi－n＝184－10×8×2＝24，由此得＝＝＝0.3，＝－＝2－0.3×8＝－0.4.故所求回归方程为：y＝0.3x－0.4.(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(＝0.3＞0)，故x与y之间是正相关．(3)将x＝7代入回归方程，可以预测该家庭的月储蓄为：y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．　测得一个随机样本的

5、数据如下表所示：x21232527293235y711212466115325(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；(2)建立x与y的关系，并预报回归模型；(3)利用所得回归模型预报x＝40时y的值．解析：(1)x与y的散点图如下图，有散点分布猜测样本数据分布在一条曲线的附近，这条曲线接近指数函数曲线y＝c1ec2x，其中c1，c2为常数．(2)对y＝c1ec2x两边取对数的lny＝lnc1＋c2x.令A＝lny，则A＝bx＋a，其中a＝lnc1，b＝c2.将y与x之间的数据转化为A与x之间的

6、数据：x21232527293235A1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784可以求得回归直线方程为A＝0.272x－3.849，所以＝e0.272x－3.849.(3)当x＝40时，y＝e0.272×40－3.849≈1131.根据样本数据描出散点图，再由散点图直观地观察散点分布符合的函数模型，再根据有关公式进行计算．►变式训练2．在一化学反应过程中，化学物质的反应速度y(g/min)与一种催化剂的量x(g)有关，现收集了8组观测数据列于下表：催化剂的量x/g1518212

7、427303336化学物质的反应速度y(g·min－1)6830277020565350试建立y与x之间的回归方程．解析：根据收集的数据，作出散点图(如下图所示)，根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y＝aebx的周围，其中a和b是待定的参数．令z＝lny，则z＝lny＝bx＋lna，即变换后的样本点应该分布在直线z＝bx＋c(c＝lna)附近．有y与x的数据表可得到变换后的z与x的数据表：x1518212427303336z1.7922.0793.4013.2964.2485.32

8、34.1745.858由z与x的数据表，可得线性回归方程：＝0.181x－0.848，所以y与x之间的非线性回归方程为：＝e0.181x－0.848.独立性检验及其应用在日常生活中，分类变量是大量存在的，例如吸烟与患肺癌等，在实际问题中，我们常常关心两个变量之间是否有关系．　为观察药物A、B治疗某病的疗效，某医生将100例该病病人随机地分成两组，一组40人，服用A药；另一组60人，服用B药．结果发现：服用A药的40人中有30人