向量概念与运算(数学)在物理中的应用

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1、向量概念与运算（数学）在物理中的应用江苏省丰县中学（221700）特级教师戴儒京数学中的向量概念及其运算法则，在物理中有广泛的应用。把数学与物理沟通，既有利于理解数学，也有利于理解物理，还有利于提高迁移能力与综合能力。数学中的向量，物理中叫矢量。定义如下：向量（数学）：我们把既有大小又有方向的量叫向量。（全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第一册（下），人民教育出版社，以下简称《数学》，第96页，黑体字为原书所加，下同，《物理》同）矢量（物理）：力既有大小，又有方向，力的合成要遵守平行四边形定则。在物理学中，象这样的物理量叫

2、做矢量。（全日制普通高级中学教科书（必修）《物理》第一册，人民教育出版社，以下简称《物理》第一册，第13页）而长度、质量、温度、时间、能量等物理量，只有大小，没有方向，在物理学中叫做标量。（同上）物理量有许多矢量，如力F、位移s、速度v、加速度a、动量p、电场强度E、磁感应强度B等等。标量除上述外还有，如功W、功率P、能量E（包括动能与势能，势能又包括重力势能、弹性势能、分子势能、电势能等）等等。矢量与标量物理意义不同，比较大小的方法不同，运算法则也不同。矢量的运算法则与数学中的向量相同。一、向量的加法与减法—力与运动的合成与分

3、解（一）数学中向量的加法：1．定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。（《数学》第99页）2．法则：（1）三角形法则：图1中的两个向量，如图2（教科书图5-7），根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。AaBbOAbbaBDaC图1图2图3（2）平行四边形法则：如图3（教科书图5-8）以同一点A为起点的两个已知向量a、b为邻边作□ABCD，则以A为起点的对角线就是a与b的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。（《数学》第100页）（二）数学中向量的减法：1．定义：求两个向量差的

4、运算，叫做向量的减法。（《数学》第102页）2．法则：（1）三角形法则：如图5（教科书图5-11），a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。（《数学》第102页）OaAaBba+bbba-baa-bDC图4图5图6（2）平行四边形法则：如图6（教科书图5-14）,□ABCD中，a,b,知=-a-b.（《数学》第103页）（三）物理中力的合成与分解1．力的合成（1）定义：求几个力的合力叫做力的合成。（2）平行四边形法则：实验表明，如果用表示两个力F1和F2的线段为邻边作平行四边形，那么，合力F的大小和方向就可以用这两

5、个邻边之间的对角线表示出来。这叫做力的平行四边形定则。（《物理》第12页）2．力的分解（1）定义：求一个已知力的分力叫做力的分解。（2）平行四边形法则：把一个已知力F作为平行四边形的对角线，那么，与力F共点的平行四边形的两个邻边，就表示力F的两个分力。同一个力F可以分解为无数对大小、方向不同的分力。一个已知力究竟该怎样分解，这要根据实际情况来决定。（《物理》第14页）比较可知，数学的研究从定义出发，物理的研究从实验出发。（四）物理中运动的合成与分解1．运动的合成与分解（1）定义：在描述演示蜡块在注满水的玻璃管中参与玻璃管的水平运

6、动与上浮运动两个运动的实验后给出：上述实验中红蜡块在竖直方向的运动和随管做的水平方向的运动，通常叫做分运动，红蜡块实际发生的运动，通常叫做合运动。（2）定义：已知分运动求合运动，叫做运动的合成。已知合运动求分运动，叫做运动的分解。（《物理》第84页）2．平抛运动的分解平抛运动可以分解为水平方向和竖直方向上的两个分运动。在水平方向（也就是在初速度方向）上物体不受力，物体由于惯性而做匀速直线运动，速度等于平抛物体的初速度。在竖直方向上物体受到重力的作用，并且初速度为零，物体做自由落体运动。（《物理》第86页）然后是平抛实验和频闪照片

7、，最后得公式：（是与x轴（水平方向）的正方向的夹角）。（《物理》第86和87页）比较可知，数学的研究方法用逻辑推理，物理的研究方法以应用为主。一、向量的数量积—力的功（一）数学中向量的数量积1．定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量叫做a与b的数量积（或内积，或点乘积—笔者加），记作ab，即ab=。（《数学》第118页）2．几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a上的投影的乘积。（《数学》第119页）（二）物理中力的功定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，这个力就对物体做了功。F2FF2FF1

8、F1s图7如图7（教科书图8-2）所示，这就是说，力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力和位移的夹角的余弦这三者的乘积。（《物理》第135页）与数学比较可以得出，功W（标量）是力F(矢量)与位移s(矢量)的数量积，记作：W=Fs，也叫做点乘积，其结果是数