广州市2013届高三年级调研测试-数学(理科)答案详解

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1、广州市2013届高三年级调研测试数学（理科）试题解析2013-1-9一、选择题1.A分析：，其对应的点为，位于第一象限2.D分析：，，3.B分析：，4.A分析：当时，有，解得；所以，但，故“”是“”的充分不必要条件5.B分析：逆推法，将的图象向左平移个单位即得的图象，即6.C分析：三棱锥如图所示，，，，7.B分析：方程表示焦点在轴且离心率小于的椭圆时，有，即，化简得，又，，画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为，故8.C分析：由题意得，故不等式化为，化简得，故原题等价于在上恒成立，由二次函数图象，其对称轴为，讨论得或，解得或，综上

2、可得二、填空题9.分析：方法一、（基本量法）由得，即，化简得，故方法二、等差数列中由可将化为，即，故10.分析：，令，得其常数项为，即，解得11.分析：设切点为，由得，故切线方程为，整理得，与比较得，解得，故12.分析：圆方程化为标准式为，其圆心坐标，半径，由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，由右图所示，圆上到直线的距离为的点有4个．13.分析：由题意，，，，，，，，…，，，；以上共503行，输出的14.分析：如图，因为，所以是弦中点，由相交弦定理知，即，故15.分析：圆的参数方程化为平面直角坐标方程为，直线的极坐标方程化为平面直角坐标方程为，如右图所示，

3、圆心到直线的距离，故圆截直线所得的弦长为三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）（本小题主要考查同角三角函数的关系、正弦定理、二倍角、两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解:∵,依据正弦定理得:,……………1分即,解得.……………3分(2)解:∵，∴.……………4分∴.……………5分∴,……………6分.……………7分∵,∴.……………8分∴……………9分……………10分.……………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量

4、的分布列等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解：由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为.∴应从四所中学抽取的学生人数分别为.……………4分（2）解：设“从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件，从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生的取法共有C种，…5分这两名学生来自同一所中学的取法共有CCCC.……………6分∴.答：从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率为.……………7分

5、(3)解：由（1）知，在参加问卷调查的名学生中，来自两所中学的学生人数分别为.依题意得，的可能取值为，……………8分，，.……………11分∴的分布列为：……………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）（1）证法1：取的中点，连接，∵点是的中点,∴.……………1分∵点是的中点，底面是正方形，∴.……………2分∴.∴四边形是平行四边形.∴.……………3分∵平面，平面，∴面.……………4分证法2：连接并延长交的延长线于点，连接，∵点是的中点，∴

6、,……………1分∴点是的中点.……………2分∵点是的中点,∴.……………3分∵面，平面，∴面.……………4分证法3：取的中点，连接，∵点是的中点，点是的中点,∴，.∵面，平面，∴面.……………1分∵面，平面，∴面.……………2分∵，平面，平面，∴平面面.……………3分∵平面，∴面.……………4分（2）解法1：∵，面，∴面.……………5分∵面，∴.……………6分过作，垂足为，连接，∵，面，面，∴面.……………7分∵面，∴.……………8分∴是二面角的平面角.……………9分在Rt△中，,，得，……………10分在Rt△中，，得，.……………11分在Rt△中，，…………

7、…12分.……………13分∴二面角的余弦值为.……………14分解法2：∵，面，∴面.在Rt△中，,，得，……………5分以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，……………6分则.∴，，.……………8分设平面的法向量为，由，，得令，得，.∴是平面的一个法向量.……………11分又是平面的一个法向量，……………12分.……………13分∴二面角的余弦值为.……………14分19.（本小题满分14分）（本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力

8、、创新意识）解法一:（1）解：设，∵，