北京市2014高考二轮总复习函数第5讲导数及其应用

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1、第5讲　导数及其应用【高考考情解读】1.本讲主要考查导数几何意义，导数的四则运算及利用导数研究函数的单调性，求函数的极值、最值等.2.常与直线、圆锥曲线、分式、含参数的一元二次不等式等结合在一起考查，题型多样，属中高档题目．1．导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是．(其中斜率)2．导数与函数单调性的关系：(1)是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但≥0.(2)≥0是f(x)为增

2、函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调性．3．函数的极值与最值(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题．(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．4．常见的导数公式及两个常用的运算法则(1)（C为常数）.(2).(3).(4).(5)；.(6);.（7）

3、（8）（9）.（10）.（11）.5．定积分的三个公式与一个定理(1)定积分的性质：①(是常数)②③(其中a

4、的封闭区域，则在上的最大值为（　　）A．B．C．D．答案　(1)D　(2)B(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．(1)直线y＝kx＋b与曲线y＝ax2＋2＋lnx相切于点P(1,4)，则b的值为(　

5、　)A．3B．1C．－1D．－3(2)若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于(　　)A．－2B．－1C．1D．2答案　(1)C　(2)D考点二　利用导数研究函数的性质例2(1)（2013届海淀一模理科）已知函数(其中为常数且)在处取得极值.(I)当时，求的单调区间；(II)若在上的最大值为，求的值.（答案：(I)的单调递增区间为,单调递减区间为；(II)或）(2)（朝阳区13届高三上学期期中理）函数是定义域为的可导函数,且对任意实数都有成立.若当时,不等式成立,

6、设,,,则的大小关系是（　）A．B．C．D．(3)（2013东城二模理）已知函数是定义在上的奇函数,且当时,(其中是的导函数),若,,,则,,的大小关系是（　　）A．B．C．D．(4)（海淀区13届高三5月查缺补漏理）已知函数,则,,的大小关系为（　　）A．B．C．D．(5)（2013顺义二模数学理科试题及答案）设定义在上的函数是最小正周期为的偶函数,是的导函数.当时,;当且时,.则函数在上的零点个数为___________.答案　(2)A　(3)C(4)A(5)6利用导数研究函数性质的一般步骤：(1)确定函数的

7、定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．(4)①若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号．②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解．(5)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)

8、与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．（2012北京理）18.已知函数,.(1)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,求,的值;(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.（答案：(1)(2)当时,最大值为;当时,最大值为）（2013西城一模理）已知函数，，其中．(I)求的极值；(II)若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围．（答案：(I)