北京市2014高考二轮总复习函数第1讲——函数及其表示

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1、§2.1　函数及其表示复习备考要这样做　1.在研究函数问题时，要树立“定义域优先”的观点；2.掌握求函数解析式的基本方法；3.结合分段函数深刻理解函数的概念．1．函数的基本概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x的值相对应的y值

2、叫作函数值，函数值的集合{f(x)

3、x∈A}叫作函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法、列表法．2．映射的概念：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．3．函数解析式的求法：求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法．4．常见函数定义域的求法(1)分式函数中分母不等

4、于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为R.(5)y＝tanx的定义域为.(6)函数f(x)＝xa的定义域为{x

5、x∈R且x≠0}．(7)对数的真数大于0，对数函数与指数函数的底大于0且不等于1.[难点正本　疑点清源]1．函数的三要素：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．2．函数与映射：(1)二者都是“一对一”或

6、者“多对一”，而且“原象”必须有“象”。(2)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射．(3)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．3．函数的定义域：(1)解决函数问题，函数的定义域必须优先考虑；(2)求复合函数y＝f(t)，t＝q(x)的定义域的方法：①若y＝f(t)的定义域为(a，b)，则解不等式得a

7、即为f(t)的定义域．1．设函数f(x)＝，若f(a)＝2，则实数a＝________.2．(课本改编题)给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝＋是函数；③函数y＝2x(x∈N)的图像是一条直线；④f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．其中正确命题的序号有________．3．函数y＝f(x)的图像如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．4．下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为(　　)　　A．y＝B．

8、y＝C．y＝xexD．y＝5．(2012·福建)设f(x)＝g(x)＝则f(g(π))的值为(　　)A．1B．0C．－1D．π答案(1)－1(2)①②(3)[－3,0]∪[2,3]　[1,5]　[1,2)∪(4,5](4)D(5)　B题型一　函数的概念例1　有以下判断：(1)f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；(2)函数y＝f(x)的图像与直线x＝1的交点最多有1个；(3)f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；(4)若f(x)＝

9、x－1

10、－

11、x

12、，则f＝0.其中正确判断的序号是_____

13、___．探究提高　函数的三要素：定义域、值域、对应关系．这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应关系唯一确定；因此当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．即对应关系是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断．下列各组函数中，表示同一函数的是(　　)A．f(x)＝

14、x

15、，g(x)＝B．f(x)＝，g(x)＝()2C．f(x)＝，g(x)＝x＋1D．f(x)＝·，g(x)＝答案　(2)(3)A题型二　求函数的解析式例2　(1)已知f＝lgx，求f(x)；(2)设y＝

16、f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式；(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．思维启迪：求函数的解析式，要在理解函数概念的基础上，寻求变量之间的关系．答案　(1)f(x)＝lg(x>1)．(2)f(x)＝x2＋2x＋1.(3)f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－