2014江苏高考直通车二轮攻略30讲+第5讲++导数及其应用.doc

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1、2014高考直通车高考二轮攻略30讲第5讲导数及其应用【课前诊断】1．(2012·辽宁)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为__________．解析　y′＝x，y′

2、x＝4＝4，y′

3、x＝－2＝－2，∵P(4,8)，Q(－2,2)，∴过P，Q的切线方程分别为：y＝4x－8，y＝－2x－2，联立方程解得y＝－4.答案　－42．(2013·广东)若曲线y＝kx＋lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.解析　∵y′＝k＋，∴y′

4、x＝1＝k＋1＝0，∴k＝－1.答案　

5、－13．(2012·苏锡常镇四市调研(一))已知a，b为正实数，函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值为4，则f(x)在[－1,0]上的最小值为________．解析　由a，b为正实数，可得函数y＝ax3＋bx的导函数y′＝3ax2＋b≥0恒成立，所以y＝ax3＋bx是R上的增函数，从而f(x)＝ax3＋bx＋2x是R上的增函数．所以当x∈[0,1]时，f(x)max＝f(1)＝a＋b＋2＝4，即a＋b＝2.当x∈[－1,0]时，f(x)min＝f(－1)＝－a－b＋＝－2＋＝－.答案　－4．设曲线y＝(ax－1)ex在点A(x0，y1)处的切线为l1，曲线y＝

6、(1－x)e－x在点B(x0，y2)处的切线为l2，若存在x0∈，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是________．解析　依题意由y＝(ax－1)ex，得y′＝aex＋(ax－1)ex＝(ax＋a－1)ex，所以kl1＝(ax0＋a－1)ex0.由y＝(1－x)e－x＝，得y′＝＝，所以kl2＝.因为l1⊥l2，所以kl1·kl2＝－1，即(ax0＋a－1)ex0·＝－1，即(ax0＋a－1)·(x0－2)＝－1，从而a＝，其中x0∈.令f(x)＝，则f′(x)＝，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈，f′(x)>0，f(x)单调递增．又因为f(0)

7、＝，f(1)＝1，f＝，所以a的取值范围是.答案　法二：直线，的斜率分别为，．由题设得在上有解，∴．令，则．【例题探究】(2013·北京)设l为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．(1)求l的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线l的下方．(1)解　由y＝，得y′＝，x>0.∴k＝y′

8、x＝1＝＝1.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.(2)证明　要证明，除切点(1,0)外，曲线C在直线l下方．只要证明，对∀x>0且x≠1时，x－1>.设f(x)＝x(x－1)－lnx，x>0，则f′(x)＝2x－1－＝.因此f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)

9、上单调递增．∴f(x)>f(1)＝0，即x(x－1)>lnx.故当x>0且x≠1时，x－1>成立．因此原命题成立．已知函数f(x)＝6lnx—ax2—8x＋b(a，b为常数)，且x＝3为f(x)的一个极值点．(Ⅰ)求a；(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅲ)若y＝f(x)的图象与x轴正半轴有且只有3个交点，求实数b的取值范围．解：(Ⅰ)∵f′(x)＝—2ax—8，∴f′(3)＝2—6a—8＝0，则a＝—1．(Ⅱ)函数f(x)的定义域为（0，＋∞）．由(Ⅰ)知f(x)＝6lnx＋x2—8x＋b．∴f′(x)＝＋2x—8＝．由f′(x)＞0可得x＞3或x＜1，由f′(x)＜0可得1

10、＜x＜3．∴函数f(x)的单调递增区间为(0，1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(1，3)．(Ⅲ)由(Ⅱ)可知函数f(x)在(0，1)单调递增，在(1，3)单调递减，在(3，＋∞)单调递增．且当x＝1或x＝3时，f′(x)＝0．∴f(x)的极大值为f(1)＝6ln1＋1—8＋b＝b—7，f(x)的极小值为f(3)＝6ln3＋9—24＋b＝6ln3＋b—15．∵当x充分接近0时，f(x)＜0，当x充分大时，f(x)＞0，∴要使f(x)的图象与x轴正半轴有且仅有三个不同的交点，只需则7＜b＜15—6ln3．(2012·北京)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋b

11、x.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．解　(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当b＝a2时，h(x)＝x3＋