勾股定理的应用(2)修订版教案

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1、www.czsx.com.cn14.2勾股定理的应用（2）教学目标知识与技能：准确运用勾股定理及逆定理．过程与方法：经历探究勾股定理的应用过程，掌握定理的应用方法，应用“数形结合”的思想来解决．情感态度与价值观：培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用价值．重点、难点、关键重点：掌握勾股定理及其逆定理．难点：正确运用勾股定理及其逆定理．关键：应用数形结合的思想，从实际问题中，寻找出可应用的Rt△，然后再有针对性解决．教学准备教师准备：投影仪，补充资料制成投影片，直尺、圆规．学生准备：直尺、圆规，复习前面知识．教学过程一、创设问题情境，激发学生兴趣展

2、示投影教师道白：在一棵树的10m高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？评析：如图所示，其中一只猴子从D→B→A共走了30m，另一只猴子从D→C→A也共走了30m，且树身垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形解决．教师活动：操作投影仪，提出问题，引导学生分析问题、明确题意，用化归的思想解决问题．学生活动：积极思考，讨论，运用数学手段来理出思路，解决问题．解：设DC=xm，依题意得：BD+BA=DC+CACA=30-x，BC=10+x在Rt△ABC中，A

3、C2=AB2+BC2即（30-x）2=202+（10+x）2-7-www.czsx.com.cn解之x=5所以树高为15m．媒体使用：投影显示．二、范例学习例3如课本P59图14．2．5在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1）从点A出发画一条线段AB，使它的另一个端点B在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为2；（2）画出所有的以（1）中的AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．教师活动：分析例3，本题只需要利用勾股定理看一看哪一个矩形的对角线满足要求．如课本图14．2．6可以求出AB

4、的长度为2，△ABC，△ABD是等腰三角形，因为由勾股定理可以求得AC==，BC==，AD=BD=，所以AC=BC，AD=BD．学生活动：参与例3的学习，动手画图，交流、讨论，弄清理由．例4如课本P59图14．2．7，已知CD=6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m，求图中阴影部分的面积．教师分析：课本图14．2．7中阴影部分的面积是一个不规则的图形，因此，我们首先应考虑如何转化为规则图形的和差形式，这是方向，同学们要记住．实际上S阴=S△ABC-S-7-www.czsx.com.cn△ACD，现在只要明确怎样计算S△ADC和S△ABC了

5、，由题目中的条件可知CD=6m，AD=8m，而∠ADC=90°，因此，S△ADC=×AD×CD=24m2，由BC=24m，AB=26m，是无法计算S，但是，我们可以求出AC=10m，而102+242=262，说明10，24，26是一组勾股数，可以推出∠ACB=90°（勾股逆定理），因此，S△ABC=AC·BC=120m2，最后可求出S阴=96m2．评析：这题应总结出两种思想方法：一是求不规则图形的面积方法“将不规则化成规则”；二是求面积中，要注意其特殊性．学生活动：参与讲例，积极思考，提出自己的看法，归纳总结解题思路．三、随堂练习课本P60练习第1，2题．探研时

6、空：1．已知：如图所示，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC上任意一点．求证：2AD2=BD2+CD2思路点拨：要证的结论中，AD，BD，CD都是平方项，而勾股定理中能找到有关线段的平方项，因此，应该构造直角三角形，由勾股定理中去寻找答案．作AE⊥BC于E，则BE=CE=AE，BD=BE+ED，CD=CE-ED，则BD2+CD2=（BE+ED）2+（CE-ED）2，然后，通过一系列代数变换，可证得结论．教师活动：分析思路，讲清方法，特别是如何作辅助线，为什么这么做辅助线做出分析，实际上是为了构建直角三角形，利用勾股定理，才作的辅助线．证明：如图

7、所示，作AE⊥BC于E．∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴BE=CE=AE∴BD2+CD2=（BE+ED）2+（CE-ED）2=BE2+2BE·ED+ED2+CE2-2CE·ED+ED2=2AE2+2DE2=2AD2学生活动，小组合作，讨论．听取教师的启发，完成本道题．评析：这是一道通过引辅助线，构造直角三角形，运用勾股定理的典型题目，从求证结论的需要，应作BC上的高，而从已知条件看，等腰三角形的首选辅助线也是应在BC上做高线，可见，对典型辅助线的作用一定要予以高度重视，可以说这是“-7-www.czsx.com.cn经验辅助线”．蚂蚁沿图中所示

8、的折线由A点爬到了D点，