《线面积分习题》word版

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1、１５第9章线面积分习题课一.内容提要1.第一类曲线积分和曲面积分—Riemann积分的一种(1)①当Riemann积分中(平面曲线段)或(空间曲线段),是定义在或上的函数时,就是对弧长的曲线积分,也称为第一类曲线积分,记为或,其中是或的弧微分.②当Riemann积分中(曲面块),是定义在上的函数时,就是对面积的曲面积分,也称为第一类曲面积分,记为,其中是曲面(的)面积元素.(2)存在条件及性质--------与重积分相同.(3)计算方法①基本方法由于线面积分的被积函数是定义在曲线段或曲面块上的,其自变

2、量必然要满足或的方程,故有下面的基本计算方法:对于,将曲线段的参量方程,代入被积式,化为对参量的定积分(注意:上限必须大于等于下限):;对于,将曲面块的显式方程(或,或)代入被积式,化为投影域(或,或)上的二重积分:,或,或.②利用对称性或几何意义进行计算③当曲线段以一般式方程给出时,１５１５原则上要将其化为参量方程来计算(为了比较容易地写出参量方程,可将尽量化简,);但有时可利用对称性或几何意义进行计算,(4)应用①曲线段的弧长,曲面块的面积;②曲线状物体的质量,曲面状物体的质量;③曲线状物体与曲面

3、状物体的转动惯量对于平面曲线段,有,,及等;对于空间曲线段,有,,等;对于曲面块,有,,等;④曲线状物体与曲面状物体的重心坐标线密度为的曲线段的重心坐标为,,;面密度为的曲面块的重心坐标为,１５１５,.2.第二类曲线积分和曲面积分—向量值函数的曲线积分和曲面积分(1)向量值函数,有向曲线与有向曲面向量值场在直角坐标系中可表示为一个向量值函数.连续,当且仅当其坐标函数和都连续.有向曲线段();有向曲面块();(2)研究变力沿曲线做功的问题,可引出沿的曲线积分(若存在),++,其中,称为有向弧长元素.于是

4、此积分可写为就的坐标函数而言,这里得到了数值函数的另一种曲线积分—对坐标的曲线积分(或称第二类曲线积分)１５１５（若存在），类似地,是对坐标的曲线积分,是对坐标的曲线积分.当第三个坐标不出现时,即为平面第二类曲线积分(3)由流速场流向曲面块正侧的流量问题,可引出沿的曲面积分(若存在),++,其中,称为有向曲面面积元素.于是此积分可写为就的坐标函数而言,这里得到了数值函数的另一种曲面积分—对坐标(面)的曲面积分(或称第二类曲面积分)（若存在），类似地,是对坐标(面)的曲面积分,是对坐标()的曲面积分.(

5、2)存在条件必要条件是在曲线段或在曲面块上有界,而在曲线段或曲面块上连续,则是第二类线面积分存在的一个充分条件.１５１５(3)主要性质①线性性;②对积分域的可加性;③方向性:(4)计算①直接法对于,将的参量方程(从变到)代入被积式,化为对参量的定积分,注意:下限是起点的参量值,上限是终点的参量值.当(从变到)或(从变到)时,..对于,将的显式方程()代入被积式,化为在的有向投影域上(正或负)的二重积分,当为的前侧,即的法向量与轴正向的转角为锐角()时,取“+”;当为的后侧,即的法向量与轴正向的转角为钝

6、角()时,取“—”.类似地,有及.②利用Green公式、Stokes公式、Gauss公式进行计算.１５１５③利用对称性简化计算.对于第二类线、面积分利用对称性简化计算时，要注意：10不能就组合积分整体使用，要分成单个积分进行；20与Riemann积分的对称性的结论刚好相反，例如曲面光滑关于（即平面）对称（包括侧也对称），则有30对组合积分也可利用轮换对称性.④可化为平面第二类曲线积分计算.(5)应用①向量场沿曲线正向的环量,例如力沿曲线所做的功.②向量场穿过曲面正侧的通量,例如流量.3.两类曲线(面)

7、积分之间的关系①,②即4.各种积分之间的关系——Green公式、Stokes公式、Gauss公式①Green公式—平面域上的二重积分与沿的曲线积分的关系;注意:Green公式对复连通域也是成立的.②Stokes公式—曲面块上的曲面积分与沿的曲线积分的关系１５１５,其中与遵从右手法则.值得注意的是,式中的只要以为边界即可,而与其形状无关.此外不难看出:当第三个坐标不出现时,此公式退化为Green公式.③Gauss公式—空间域上的三重积分与沿的曲面积分的关系注:1Gauss公式对复连通域也是成立的;2设是

8、上任意一点处的单位法向量,则有,于是得Green公式的另一形式;由此可见,Gauss公式是Green公式向空间域上的推广.5.第二类曲线和曲面积分与路径无关的条件(1)平面第二类曲线积分与路径无关的条件—基于Green公式的结论若与路径无关,则可记其为.①设是开区域,若在内连续,则对于两点,与路径无关,当且仅当对内任意一条分段光滑闭合曲线有;当且仅当存在二元函数,使得(),并称为的一个原函数,且可表示为.②当是单连通域,且在内具有连续的一阶偏导数时,与路