《广义积分习题》word版

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1、第九章广义积分习题课一、主要内容1、基本概念无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。2、敛散性判别法Cauchy收敛准则、比较判别法、Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法。3、广义积分的计算4、广义积分与数项级数的关系5、广义积分敛散性的判别原则和程序包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy判别法可

2、以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。对具体广义积分敛散性判别的程序：1、比较法。2、Cauchy法。3、Abel判别法和Dirichlet判别法。4、临界情况的定义法。5、发散性判别的Cauchy收敛准则。注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy法所起作用基本相同。注、在判断广义积分敛散性时要求：1、根据具体题型结构，分析特

3、点，灵活选择方法。2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。二、典型例子下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。注意判别法使用的顺序。例1判断广义积分的敛散性。分析从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。解、记，对，先讨论简单情形。111时，时收敛，时发散。，不妨设，则，故，时为常义积分，此时收敛。时，由于因此，与积分同时敛散，即时收敛，时发散。因此，对，此时广义积分的敛散性完全由分母中的低阶项决定。上述结论也可以总结为：min{p,q}<1时收敛，min{

4、p,q}时发散。对，类似可以讨论，即时，时收敛，时发散。，不妨设，则，由于因此，与积分同时敛散，即时收敛，时发散。此时，广义积分的敛散性完全由分母中的高阶项决定。上述结论也可以总结为：max{p,q}>1时收敛，max{p,q}时发散。综上：时收敛，其余发散。或者为：min{p,q}<10。分析积分结构中包含有正弦函数的因子，注意利用它的两个特性：本身有界性――用于获得绝对收敛性的相关结论；积分片段的有界性――用于获得收敛性。注

5、意验证积分片段有界性时的配因子方法。111解：先分析绝对收敛性，由于，故，m>1时，广义积分绝对收敛。当时，利用配因子法验证积分片段的有界性，由Dirichlet判别法，广义积分收敛。由于，而类似可以证明收敛，发散，因而，发散，故时，广义积分条件收敛。注、从解题过程中可知，利用定义可以证明m=0时积分发散。注、不能将积分分成如下两部分＝，通过右端两部分的收敛性得到I的收敛性，原因是只有当右端两项同时收敛时，才成立上述的分解结论。例3讨论的敛散性。分析从结构看，应该分段处理，重点是讨论ln（1＋x）的当和时

6、的性质，进行阶的比较。解、记，。对，由于，故，当，即时，收敛；当时，发散。111对，利用已知的结论：，则，当时，取使得，则故收敛。当时，取，则故发散。因而，当时，收敛；时发散。例4讨论的敛散性，其中。分析分段处理，对第一部分的无界函数广义积分，是非负函数的广义积分，可以用比较判别法或Cauchy判别法，对第二部分的无穷限广义积分，由于被积函数是变号函数，因此，应该用Abel判别法或Dirichlet判别法。解：记，对，当时，故，收敛。由于此时被积函数不变号，故又绝对收敛。当时，111故，发散。对，由于，故

7、当时，（绝对）收敛。当时，由于，对任意，且当时，单调递减趋于0，由Dirichlet判别法，收敛。又，此时且收敛，因此，发散。因而，当时，条件收敛。综上，；例5讨论的敛散性，其中p、q非负。分析从被积函数的结构可以发现，组成被积函数的两个因子中，较难处理的是因子，因此，处理思想就是将其简化，处理手段是变量代换。处理技巧是先易后难。解、先考虑最简情形：时的情形。记，，此时，、分别是无界函数和无穷限广义积分，因此，时，收敛；时，发散；而对，时时收敛，时发散，故时，发散。111当时，令，，则＝对，由于，故与同时

8、敛散。因而，时，（绝对）收敛；时，发散。对，由于，故，时，绝对收敛；当时，由Dirichlet判别法，（条件）收敛。当时，利用周期函数的积分性质，则因而，由Cauchy收敛准则，发散。综上：时，发散；时，时，绝对收敛；时，条件收敛；时，发散。注、本题的证明思想：过程：由易到难；矛盾集中，突出重点，抓住主要矛盾。注、也可以用配因子法处理。下述的例子用阶的分析法。例6讨论的敛散性。分析首先将积分分段处理，记，。从被积函数结构看，被