广义积分习题课.docx

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1、第十一次习题课讨论题解答本次习题课主要讨论广义积分的计算及其收敛性判定。具体有三方面的内容：一.广义积分计算二.广义积分的收敛性判定三.三个重要的广义积分两点说明：（1）为了判断广义积分的收敛性，我们常常将被积函数作分解，使得广义积分和的收敛性比较容易判断。根据积分和的收敛性，我们可以确定积分的收敛性。具体有如下结论：（i）如果积分和都收敛，则积分也收敛。（ii）如果积分和一个收敛，一个发散，则积分发散。（iii）如果两个积分都发散，则积分收敛性尚不能确定。此时只能说分解式不管用。例：广义积分。（2）对于正常积分，积分存在意味着存在；反之不然。而对于广义积分情形则刚

2、好相反：广义积分存在（收敛）意味着存在（收敛），反之不然。一．计算下列广义积分说明：以下广义积分的收敛性不难证明，故略去。但同学们自己作为练习应该考虑。题1.，其中。解：对于，我们又等式，且，。受此启发，我们作变换，于是，且。因此。解答完毕。注：值得注意的是，这个积分的值与上下限和无关。题2．解：注意时，由此可以判断所求无穷积分收敛。为计算积分，可以利用有理函数积分法：，……（较繁琐）。另解：原式=，在其中无穷积分中引入积分变量代换：，原式化为两个普通积分的和，且都在区间上：原式=。解答完毕。题3．，其中。解：将积分分成两个部分和对积分作变换得。于是。解答完毕。（注

3、：积分值与参数值无关）题4．（有理函数积分或者变量代换）解法一：。解法二：令（评：这变换有点怪异，很难想到。这样的特别技巧并不是很多，我们最好都能记住），则，且时，时，此外，。解答完毕。二、判断广义积分的收敛性题1．解：该积分既有奇点，又是无穷区间上积分，是混合型的广义积分。需要分别处理。在奇点附近，所以仅当时收敛。以下考察无穷积分的收敛性。当时，取充分小，使得，从而收敛，而且，这说明收敛；当时，，由于发散，所以发散。综上，当且仅当时，积分收敛。解答完毕。题2．，其中。解：当被积函数没有奇点，当时，为奇点，这时（），可见当且仅当时，积分收敛；为考察无穷积分，注意无论

4、的符号如何，都有（）。由此可见仅当时积分收敛。综上，当且仅当，且时，积分收敛。解答完毕。题3.（第六章复习题题2（1），p.206）解：先考积分在奇点处的收敛性。我们将被积函数写作。由此可见，积分在点处的收敛，当且仅当，即。我们再来考虑积分在无穷远处的收敛性。我们将被积函数写作。显然积分收敛，当且仅当而积分收敛，当且仅当。由此可知积分收敛，当且仅当。综上所述，积分收敛，当且仅当。解答完毕。题4.。（习题6.2题9（2），p.206）解：对积分作变量替换，我们得到。由此可见，积分为条件收敛。解答完毕。注：对于无穷区间型的广义积分而言，积分收敛，并不意味着被积函数有界，

5、当然更遑论被积函数有趋向于零的极限。题5.（第六章复习题题3，p.206）解：注意被积函数没有有限奇点，而在时单调减趋于0。根据Dirichlet判别法可知积分收敛。我们进一步积分的绝对收敛性。注意当时，。从而存在，使得时。于是。由此可知积分发散。综上可知原广义积分条件收敛。解答完毕。题6.讨论如下广义积分的绝对收敛性和条件收敛性,其中。(i)(ii)(iii)解：（i）由于被积函数为非负的，因此它收敛即为绝对收敛。当时，根据不等式，可知积分收敛。当时，根据不等式可知积分发散。（ii）我们将积分的被积函数作如下表示，因为右边的两个函数的收敛性比较容易判断。不难看出广

6、义积分对任意均收敛。再根据结论（i），我们可以断言，积分收敛，当且仅当时。再来考虑绝对收敛性。当时，根据不等式，我们可以断言发散。当时，根据不等式，我们可以断言收敛。于是积分条件收敛，当且仅当；积分绝对收敛，当且仅当。（iii）注意对于任意，这表明点并不是被积函数的奇点。因此积分与积分的收敛性相同，即积分条件收敛，当且仅当；积分绝对收敛，当且仅当。解答完毕。三．三个重要的广义积分（1）计算Euler积分。（2）计算Froullani广义积分（3）证明概率积分（也称Euler-Poisson积分）。（证明有点长，已超出要求，可略去。但证明不超出我们所学，也不难懂。）（

7、1）.(课本第六章总复习题9，p.207)计算Euler积分。提示：用配对法求积分值。考虑另一个积分。解：易见是Euler积分的瑕点。这里我们略去证明收敛性的证明（不难），只专注如何求出积分的值。我们尝试用配对法来求积分值。考虑相关积分。不难证明这两个积分相等，即。于是我们有。对于积分，作变量替换得。显然。由此得。于是。解答完毕。注：可利用上述Euler积分计算以下积分的值i)ii)iii)iv)（2）设函数在上连续且极限存在，记作。证明Froullani广义积分，其中，为两个正数。提示：将积分分成两部分之和，这两个部分分别为从到和到的积分。对于积分，考虑从到的