对称法作圆锥曲线的切线(1)

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1、对称法作圆锥曲线的切线徐叶琴江苏张家港市乐余高级中学许多资料文献，如近期的文[1]、[2]、[3]都介召了圆锥曲线的切线的尺规作法。那么，作圆锥曲线的切线是否存在规律，有没有统一的尺规作法呢？1、切线方程与切点弦方程大家知道，曲线如果在某一点处可导，那么该点处的导数的几何意义是该点处切线的斜率。以椭圆型函数为例，设为其图象上异于长轴端点的任意一点，利用复合函数求导法则，；对于，也有。如果利用隐函数求导法则，对，当为其上一点，。这样在处的切线方程为。当时，切线为，也适合上式。故椭圆曲线上任意一点处的切线方程为。处

2、切线方程的纵、横截距分别为、，具有对称性。当在椭圆外，即时，过的切线有两条。设切点为、，则切线PR、PS方程分别为和，在切线上，故有和，此两式又表明、满足5/5，故对应于点的切点弦RS所在直线方程为，切点弦的纵、横截距也为、，切点弦的纵、横截距的对称性，为我们寻找切点的位置，统一圆锥曲线的尺规作法提供了思路。2、圆锥曲线切线的统一尺规作法2．1椭圆的切线设椭圆C的方程为，点为椭圆外一点，切线PR、PS分别与椭圆相切于R、S点，则切点弦RS所在的直线方程为。利用平面几何中直角三角形的比例中项定理，结合对称找点法，

3、可以利用直尺和圆规确定两个切点的位置。作法：⑴分别在两坐标轴上截得、和、四点；⑵作，，；oBRy图（1）NxADEMS⑶作D、E关于原点对称点、，作直线与椭圆相交于R、S；⑷连结PR、PS，则PR、PS为椭圆过点P的切线。证明：如图⑴所示，由作法，，由比例中项定理得，必有异号，关于原点对称，xyoADM图（2），同理，5/5，故切点弦所在直线方程为，相应地，直线PR、PS与椭圆相切于R、S点。证毕。特别地，当在椭圆上时，如图⑵所示，切点弦退化为切线。只须找到切线之横截距。作，，作，DA交于D点，D关于原点的对称

4、点为，连，即椭圆C在点P处的切线。2．2双曲线的切线设双曲线C的方程为，为双曲线C外（不含焦点区域），且不在渐近线上的任意一点，PR、PS是过点P的双曲线C的两条切线，则切点弦所在直线方程为。直线RS的纵横截距分别为、。作法：⑴分别在、轴上截得、和、四点；⑵作，，；EABMxyoPDNSR图（3）⑶仅作D关于原点对称点，连结与双曲线C交于R、S两点；⑷连结PR、PS，则PR、PS为双曲线C的过点P的两条切线。证明：如图⑶所示，由作法，、，xyoAPDM图（4）有，5/5异号，关于原点对称，，即，同理，直线方程为

5、，即切点弦ＲＳ所在直线方程，故PR、PS为双曲线C过点P的两条切线。证毕。特别地，当在双曲线上时，且异于顶点时，如图⑷所示，作法简化。只须作，点，作，DA交于D，D关于原点的对称点为，连，则与双曲线C相切于P点。（证略）２．３设抛物线的切线设抛物线C的方程为，为抛物线C外（不含焦点区域，且不在对称轴上）的任意一点，PR、PS为抛物线C的过P点的两条切线，R、S为切点。则切点弦方程为，利用对称法作切线步骤如下：作法：⑴作于D，作D点关于原点的对称点；⑵作直线，与抛物线C交于Q，作P关于Q的对称点M；⑶连，交抛物线

6、于R、S两点；⑷作直线PR、PS，即为抛物线的过点P的两条切线。xyoPD图（６）xyoPQRMSD图（5）证明：如图⑸所示，，，，在抛物线上，，又M、P关于Q点中心对称，故。直线5/5的方程为，即切点弦所在直线为，PR、PS为点P处的抛物线C的两条切线。证毕。特别地，如图⑹所示，当在抛物线上时，且异于顶点时，只须作于D，作D关于原点的对称点，连，即切线。当时，只要作P关于原点O的对称点，再作交抛物线于R、S，PR、PS即过点P的两条切线。抛物线C的顶点处的一条切线，即轴。用对称法作圆锥曲线的切线，不仅沟通了椭

7、圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线的切线的尺规作法，而且揭示了点在曲线外、点在曲线上作切线的一般和特殊的辩证关系；导数知识和切线作法密切联系，展示了数学科学的对称美、和谐美和自然美，是数学园地一束绚丽花絮。参考文献：1季福根椭圆切线的尺规作法数学通报2003.112黄伟亮双曲线、抛物线切线的尺规作法数学通报2004.123吴进一个有趣的发现及其推广数学通报2005.15/5