多元函数的基本概念(1)(1)

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1、第八章多元函数微分学第一节多元函数的基本概念教学目的：了解平面点集的相关概念；理解并掌握多元函数的概念，会求简单的二元函数的极限，会证明简单的二元函数的极限不存在问题.了解二元函数连续的性质以及二元初等函数连续的性质.重点：理解并掌握多元函数的概念，会求简单的二元函数的极限，会证明简单的二元函数的极限不存在问题.难点：二元函数的极限不存在问题的证明.教学方法：启发式讲授教学过程：一、多维空间的点集(区域)1、维欧氏空间.2、中两点与的距离.3、邻域(1)点的的邻域.简记为.(2)点的的去心邻域.简记为.4、集合中的点(1)为的内点：.

2、的内点集.(2)为的边界点：,且.的边界.(3)为的聚点：,但不一定在内.例如：点集，和0为点集的边界，面上的每一个点都是聚点（极限点）.结论：内点是聚点；边界点不一定是聚点；聚点也不一定是边界点.例如：集合的孤立点是边界点但不是聚点.5、点集(1)开集:且均有，则为开集.，均为开集.(2)闭集:.（开集并上其边界构成闭集，或开集的余集为闭集），都是闭集.既不是开集也不是闭集.(3)有界集:.，都是有界集.(4)无界集:.，是无界集.(5)连通集:中任意两点均可用中折线连结起来.，，，，都是连通集.不具有连通性.6、区域(1)开区域:

3、连通开集,简称区域.例如为区域，它的边界，边界上的点都是聚点，但边界点都不是内点.(2)闭区域:,其中为开区域.例如为闭区域，边界为，边界上的点都是聚点且又都是内点.例如：点集＝为闭区域，为的点，但为边界点，且不是聚点.是无界区域.是无界闭区域.是有界区域.二、多元函数的概念1、【定义】：,（存在惟一）按法则与对应,称为的函数（定义在上的一个n元（实值）函数.其中集合为非空集合.记作或.(1)称为函数的定义域,记作.(2)称为函数的自变量,称为函数的因变量.(3)称为函数的值域,记作.说明：1.二元或二元以上的函数均称为多元函数.2.

4、二元函数定义域为：曲面在平面上的投影.3.实维空间，实2维空间.例1(1)求的定义域．解：所以的定义域为.（2）的定义域为.（3）的定义域为.(4)求的定义．解：，所求函数定义域为．5）求函数的定域.提示：.（6）的定义域为说明：１）．在未加说明情况下，函数的定义域均指自然定义域．如定义域是，定义域是．2）．一元函数的单调性、奇偶性、周期性定义在多元函数中不在适用．但有界性定义仍然成立．多元函数有界定义：设有元函数，其定义域为，集合，若存在正数，则称在上有界．称为在上的一个界．例2判断正误(1)在球内部的点有(　).(a)(b)(c)

5、(d)答　(c,d).将球面方程写成标准形式,球内部的点应满足不等式.(2)点在曲面(　)上.(a)（旋转抛物面）(b)（双曲抛物面马鞍面）(c)（圆柱面）(d)答　(a,c).曲面上的点应满足曲面方程,(3)点(　)在平面上.(a)(b)(c)(d)答　(a,c,d).平面上的点应满足平面方程,(4)函数的定义域是(　).(a)(b)(c)(d)且答　(d).且选(d).例3复合函数（1）已知.（2）已知.（3）已知.提示：.（4）已知.2、多元函数(1)二元函数：时,函数称为二元函数.常写成.(2)三元函数：时,函数称为二元函数.

6、常写成.(3)多元函数：时,函数称为多元函数.另外,时,函数称为一元函数.3、二元函数图形——.表现为空间中的一个曲面.三、多元函数极限1、多元函数极限(1)【定义】：设区域,（为区域的聚点，可以不在区域内）,是一个常数.若,,时,恒有,则称为当时的极限.记作,或,.其中.（2）特别情况：时,极限为二元函数极限,常称为二重极限,记作（）.例4求证.证明:取当时,恒有.所以.另证：因为所以.(3)必需具有任意性.多元函数极限的存在，是指在内以任何方式趋近于时，函数都无限接近于反过来，如果当以不同方式趋近于时，函数趋近于不同的值，那末就可

7、以断定这函数的极限不存在.还句话说：要说极限不存在，只需举一个反例就够了.例5讨论的收敛性.解:令则，极限值随的变化而变化所以极限是发散的．例6证明下列极限不存在（１）：结果随变化．（２）：结果随变化．其极限值随的不同而变化，故极限不存在．2、二重极限计算多元函数极限同样具有一元函数极限类似的运算法则和性质（四则运算、复合函数的极限、两个重要极限、等价无穷小、夹逼原理仍成立）,但罗必达法则不再成立.例7计算下列极限解：（１）.（２）因为所以＝０（３）＝（４）（５）（６）（7）又且，故.（根据：有界变量与无穷小量的积还是无穷小量）.计算

8、为什么不正确？（因为只考虑了一种方式向原点趋进.）（8）求.解：因,由于,于是．例8(06.7)设,,,求(Ⅰ);(Ⅱ).解　(Ⅰ).(Ⅱ).例9　用极限定义证明　．证明：，对于,时恒有　故．四、多元函数的连续性１．【定