多元函数的基本概念1

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1、推广第九章一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分学第九章第一节一、区域二、二元函数的概念三、二元函数的极限四、二元函数的连续性多元函数的基本概念一、区域1.邻域点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点P0的去心邻域记为在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.2.区域(1)内点、外点、边界点设有点集E及一点P:若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E

2、=,若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E则称P为E的内点；则称P为E的外点;则称P为E的边界点.的外点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.E的边界点的全体称为E的边界，记为(2)聚点、孤立点若对任意给定的,点P的去心邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为孤立点：E的边界点)内点一定是聚点；说明：设点P∈E如果存在点P的去心邻域点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点但不属于

3、集合．边界上的点都是聚点也都属于集合．再如：设平面点集满足一切点(x,y)都是E的内点；满足的一切点(x,y)都是E的边界点，它们都不属于E；满足的一切点(x,y)也是E的边界点，它们都属于E；点集E以及它的边界上的一切点都是E的聚点.D(3)开区域及闭区域若点集E的点都是内点，则称E为开集；若点集EE,则称E为闭集；若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;。。整个平面是最大的开域,也是最大的闭域；例如，在

4、平面上开区域闭区域点集是开集，但非区域.o有界集：对于平面点集E，如果存在某一正数r，使得，其中O是坐标原点，则称E为有界集.无界集：一个集合若非有界集，就称为无界集.例如，集合是有界闭区域;集合是无界开区域；集合是无界闭区域.包括部分边界在内的区域称为半开区域.如果区域延伸到无穷远处，称为无界区域，否则称为有界区域.3.n维空间n元有序数组的全体称为n维空间,n维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第k个坐标.记作即一个点,当所有坐标称该元素为中的零元,记作O.设x=(x1,x2,…,xn)，

5、y=(y1,y2,…,yn)为Rn中任意两个元素，规定n维空间中的线性运算的距离记作规定为与零元O的距离为设如果则称变元经x在中趋于固定元a，记作在n维空间中定义了距离以后，就可以定义中变元的极限：中点a的邻域为内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．二、多元函数的概念引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式f称为对应规则或函数，f(x,y)称为f在点(x,y)处的函数值。函数值的全体所构成的集合称为函数f的值域，记作函数与选用的记号无关，如则称f是D上的二元函数,记为1、二元函数的定

6、义把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集D，映射就称为定义在D上的n元函数，通常记为变元的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域.也可记为或简记为例1求的定义域．解所求定义域为2、二元函数的几何意义：设二元函数z=f(x,y)的定义域为xoy面上的某一区域D，对于D上的每一点P(x,y)，在空间可以作出一点M(x,y,f(x,y))与它对应；当点P(x,y)在D中变动时，点M(x,y,f(x,y))就在空间作相应地变动，它的轨迹是一个曲面.例如,二元函数定义域为圆域图形为中心在原点的上半球面.三元函数定

7、义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球一元函数极限回顾：二元函数的极限：如果在的过程中f(x,y)无限接近一个确定常数A，就称A是f(x,y)当时的极限，记为三、多元函数的极限定义2设函数的定义域为D,P0是D的聚点则称A为函数若存在常数A,当记作对任意正数,总存在正数,也即都有或说明：（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．（1）定义中的方式比的方式复杂的多不同于二次极限说明：(4)不研究函数在P0(x0,y0)处的状态，仅研究点(方式任意)的过程中，函数f(x,y)的

8、变化趋势.所以，定义规定函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域内有定义，不要求函数在点P0(x0,y0)有定义.(5)极限值A应是一个确定的常数，它与P(x,y)趋近P0(x0,y0)的方式无关.也就是说：P(x,y)以任何方式趋于P0(x0,y0)时，函数都无限接近于A.相同点多元函数和一元函数极限的概念的相同点和差异一元函数在某点的极限存在的充要定义相同.不同点必需是点P在定义域内