多元函数的基本概念1

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1、第九章　多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念一、平面点集n维空间二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性1．邻域一、平面点集n维空间注20若不需强调邻域的半径，则点　的某一邻域常记为称为点的去心　邻域．10点的某一去心邻域常记为2．区域(1)内点、边界点、聚点设有点集E及一点P，若存在点P的某邻域U(P)，使得U(P)E,若点P的任一邻域U(P)内既含有属于E的点，又含有不属于E的点,则称P为E的边界点.则称P为E的内点；若点P的任一去心邻域内总有E中的点,则称P是E

2、的聚点.显然,E的内点必属于E,E的边界点与聚点可能属于E,也可能不属于E.E的内点必是E的聚点，E的边界点也可能是E的聚点．(2)开集、闭集、边界若点集E的点都是内点，则称E为开集；若E的边界包含于E,则称E为闭集；E的边界点的全体称为E的边界;(3)(开)区域、闭区域D若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;．．注以后在不需要区分开区域与闭区域时，将其通称为区域．例如，（开）区域闭区域整个

3、平面是最大的开区域,点集是开集，也是最大的闭区域；但非区域.为有界闭区域；为无界开区域．例如，（4）有界点集、无界点集若平面点集E可包含于原点的某个邻域内，则称E为有界点集；否则，称E为无界点集．3．n维空间注10n维空间中两点间距离公式:设两点为则20平面点集的有关概念均可推广到n维空间中去，如，邻域：二、多元函数的概念1．多元函数的定义定义1注类似地可定义三元及三元以上函数．2.二元函数的图形二元函数的图形为空间点集通常，它是空间曲面．注二元函数　　　　　的定义域D在几何上表示曲面　　　　

4、　在xOy坐标面上的投影域．二元函数的图形通常是一张曲面.例如,二元函数定义域为圆域图形为中心在原点的上半球面.又如,例1求的定义域．解所求定义域为三、多元函数的极限定义2或或或或注10n元函数的极限可以类似地定义．20二元函数的极限又称为二重极限．30二元函数的极限　　　　　　　　　　当且仅当点以任何方式趋向于点　　　　时，都趋向于同一个数值A．40若当点以两种不同方式趋于　　　　时，趋于两个不同值，或当点以某种的极限不存在，方式趋于　　　　时，则不存在.50多元函数的极限运算法则与一元函数类似．例

5、3证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故　　　　　　不存在．例4求解四、多元函数的连续性1．多元函数连续的定义定义3定义定义4如果函数在D上的每一点都连续，则称函数在D上连续，或者称是D上的连续函数.定义5定义6注二元函数的间断点可以形成一条或几条曲线．例如：例5讨论函数在点(0,0)处的连续性．解其值随k的不同而变化，因为故极限　　　　　不存在．因此，函数　　　在点(0,0)处不连续．2．多元连续函数的运算性质性质1多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零时）仍为多元连续函数．性质2多元连续函数的

6、复合函数仍为多元连续函数．3．多元初等函数的连续性定理一切多元初等函数都在其定义区域内连续．注定义区域是指包含在定义域内的开区域或闭区域．例6解4．有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域D上的多元连续函数必在D上取得它的最大值和最小值．有界闭区域D上的多元连续函数必在D上取得介于其最小值与最大值之间的一切值．性质2（最值性）性质3（介值性）性质1（有界性）有界闭区域D上的多元连续函数必在D上有界．思考题思考题解答不能！例如：取但是，　不存在.因为若取