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1、项目二一元函数积分学与空间图形的画法实验1一元函数积分(基础实验)实验目的掌握用Mathematica计算不定积分与定积分的方法.通过作图和观察,深入理解定积分的概念和思想方法.初步了解定积分的近似计算方法.理解变上限积分的概念.提高应用定积分解决各种问题的能力.基本命令1.计算不定积分与定积分的命令Integrate:求不定积分时,其基本格式为Integrate[f[x],x]如输入Integrate[x^2+a,x]则输出其中a是常数.注意积分常数C被省略.求定积分时,其基本格式为Integrate[
2、f[x],{x,a,b}]其中a是积分下限,b是积分上限.如输入Integrate[Sin[x],{x,0,Pi/2}]则输出1注:Mathematica有很多的命令可以用相应的运算符号来代替.例如,命令Integrate可用积分号代替,命令Sum可以用连加号代替,命令Product可用连乘号代替.因此只要调出这些运算符号,就可以代替通过键盘输入命令.调用这些命令,只要打开左上角的File菜单,点击Palettes中的BasicCalculations,再点击Calculus就可以得到不定积分号、定积分号
3、、求和号、求偏导数号等等.为了行文方便,下面仍然使用键盘输入命令,但也可以试用这些数学符号直接计算.2.数值积分命令NIntegrate用于求定积分的近似值.其基本格式为NIntegrate[f[x],{x,a,b}]如输入NIntegrate[Sin[x^2],{x,0,1}]则输出0.3102683.循环语句For循环语句的基本形式是For[循环变量的起始值,测试条件,增量,运算对象]运行此命令时,将多次对后面的对象进行运算,直到循环变量不满足测试条件时为止.这里必须用三个逗号分开这四个部分.如果运算
4、对象由多个命令组成,命令之间用分号隔开.例如,输入t=0;For[j=1,j<=10,j++,t=t+j];t则循环变量j从取值1开始,到10结束.每次增加1.执行结果,输出变量t的最终值1+2+…+10=55.注:For语句中的j++实际表示j=j+1实验内容57用定义计算定积分当在上连续时,因此可将与作为的近似值.为了下面计算的方便,在例1.1中定义这两个近似值为和n的函数.例1.1计算的近似值.输入s1[f_,{a_,b_},n_]:=N[(b-a)/n*Sum[f[a+k*(b-a)/n],{k,
5、0,n-1}]];s2[f_,{a_,b_},n_]:=N[(b-a)/n*Sum[f[a+k*(b-a)/n],{k,1,n}]];再输入Clear[f];f[x_]=x^2;js1=Table[{2^n,s1[f,{0,1},2^n],s2[f,{0,1},2^n]},{n,1,10}];TableForm[js1,TableHeadings->{None,{"n","s1","s2"}}]输出为ns1s220.1250.62540.218750.4687580.2734380.398438160.3
6、027340.365234320.3178710.349121640.3255620.3411871280.3294370.337252560.3313830.3352895120.3323570.33431110240.3328450.333822这是的一系列近似值.且有不定积分计算例1.2求输入Integrate[x^2*(1-x^3)^5,x]则输出例1.3求输入Integrate[x^2*ArcTan[x],x]则输出57定积分计算例1.4求输入Integrate[Abs[x-2],{x,0,4}
7、]则输出4例1.5求输入Integrate[Sqrt[4-x^2],{x,1,2}]则输出例1.6求输入Integrate[Exp[-x^2],{x,0,1}]则输出其中Erf是误差函数,它不是初等函数.改为求数值积分,输入NIntegrate[Exp[-x^2],{x,0,1}]则有结果0.746824.变上限积分例1.7求输入D[Integrate[w[x],{x,0,Cos[x]^2}],x]则输出-2Cos[x]Sin[x]w[Cos[x]2]注意这里使用了复合函数求导公式.例1.8画出变上限函数
8、及其导函数的图形.输入命令f1[x_]:=Integrate[t*Sin[t^2],{t,0,x}];f2[x_]:=Evaluate[D[f1[x],x]];g1=Plot[f1[x],{x,0,3},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]];g2=Plot[f2[x],{x,0,3},PlotStyle->RGBColor[0,0,1]];Show[g1,g2];则输出所求图形.57定积分应用例1.9设和计算
