一元函数积分学与空间图形的画法

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1、项目二一元函数积分学与空间图形的画法实验1一元函数积分学(基础实验)实验目的掌握用Mathematica计算不定积分与定积分的方法.通过作图和观察,深入理解定积分的概念和思想方法.初步了解定积分的近似计算方法.理解变上限积分的概念.提高应用定积分解决各种问题的能力.用定义计算定积分当在上连续时,有因此可将与作为的近似值.为了下面计算的方便,在例1.1中定义这两个近似值为和n的函数.例1.1(教材例1.1)计算的近似值.输入s1[f_,{a_,b_},n_]:=N[(b-a)/n*Sum[f[a+k*(b-a)/n],{k

2、,0,n-1}]];s2[f_,{a_,b_},n_]:=N[(b-a)/n*Sum[f[a+k*(b-a)/n],{k,1,n}]];再输入Clear[f];f[x_]=x^2;js1=Table[{2^n,s1[f,{0,1},2^n],s2[f,{0,1},2^n]},{n,1,10}];TableForm[js1,TableHeadings->{None,{"n","s1","s2"}}]则输出ns1s220.1250.62540.218750.4687580.2734380.398438160.3027340.

3、365234320.3178710.349121640.3255620.3411871280.3294370.337252560.3313830.3352895120.3323570.33431110240.3328450.333822这是的一系列近似值.且有例1.2计算的近似值.69输入Clear[g];g[x_]=Sin[x]/x;js2=Table[{n,s2[g,{0,1},n]},{n,3,50}]则得到定积分的一系列近似值:{{3,0.91687},{4,0.924697},{5,0.929226},…,{4

4、8,0.944421},{49,0.944455},{50,0.944488}}注：用这种方法(矩形法)得到的定积分的近似值随n收敛很慢.可以用梯形法或抛物线法改进收敛速度(见教材中的有关章节).如果用Nintegrate命令可以得到本题的比较精确的近似值为0.946083.例1.3用定义求定积分的动画演示.输入Clear[f,x,a,b];f[x_]=x^2;a=0;b=1.5;m=0;g1=Plot[f[x],{x,a,b},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]},DisplayFunction->

5、Identity];For[j=3,j<=50,j+=2,m=j;tt1={};tt2={};For[i=0,i

6、unction->$DisplayFunction,PlotLabel->m''intervals'']]执行以上命令,可得到一系列图形(共24幅),如果观察动画,只要选中24幅图形中的任一幅图形,双击以后即可以形成动画.当分割越来越细时,观察小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的关系,有助于理解定积分的概念及其几何意义.不定积分计算例1.4(教材例1.2)求输入Integrate[x^2*(1-x^3)^5,x]则输出例1.5求输入Integrate[Exp[-2x]*Sin[3x],x]则输出69例1.6(教材例1.3)

7、求输入Integrate[x^2*ArcTan[x],x]则输出例1.7求输入Integrate[Sin[x]/x,x]则输出SinIntegrate[x]它已不是初等函数.定积分计算例1.8求输入Integrate[x-x^2,{x,0,1}]则输出例1.9(教材例1.4)求输入Integrate[Abs[x-2],{x,0,4}]则输出4例1.10(教材例1.5)求输入Integrate[Sqrt[4-x^2],{x,1,2}]则输出例1.11(教材例1.6)求69输入Integrate[Exp[-x^2],{x,0

8、,1}]则输出其中Erf是误差函数,它不是初等函数.改为求数值积分,输入NIntegrate[Exp[-x^2],{x,0,1}]则有结果0.746824.变上限积分例1.12(教材例1.7)求输入D[Integrate[w[x],{x,0,Cos[x]^2}],x]则输出-2Cos[x]Sin[x]w[Cos[x]