函数的最值与求导

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1、一、选择题1.函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是M,最小值是m,若M=m,则f′(x)(  )A.等于0       B.大于0C.小于0D.以上都有可能[答案] A[解析] ∵M=m,∴y=f(x)是常数函数∴f′(x)=0,故应选A.2.设f(x)=x4+x3+x2在[-1,1]上的最小值为(  )A.0    B.-2   C.-1   D.[答案] A[解析] y′=x3+x2+x=x(x2+x+1)令y′=0,解得x=0.∴f(-1)=,f(0)=0,f(1)=∴f(x)在[-1,1]上最小值为0.故应选A.3.函数y=x3+x2-x+1在区间[-2,1

2、]上的最小值为(  )A.B.2C.-1D.-4[答案] C[解析] y′=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1)令y′=0解得x=或x=-1当x=-2时,y=-1;当x=-1时,y=2;当x=时,y=;当x=1时,y=2.所以函数的最小值为-1,故应选C.4.函数f(x)=x2-x+1在区间[-3,0]上的最值为(  )A.最大值为13,最小值为B.最大值为1,最小值为4C.最大值为13,最小值为1D.最大值为-1,最小值为-7[答案] A[解析] ∵y=x2-x+1,∴y′=2x-1,令y′=0,∴x=,f(-3)=13,f=,f(0)=1.5.函数y=+在(0,1)

3、上的最大值为(  )A.B.1C.0D.不存在[答案] A[解析] y′=-=·由y′=0得x=,在上y′>0,在上y′<0.∴x=时y极大=,又x∈(0,1),∴ymax=.6.函数f(x)=x4-4x(

4、x

5、<1)(  )A.有最大值,无最小值B.有最大值,也有最小值C.无最大值,有最小值D.既无最大值,也无最小值[答案] D[解析] f′(x)=4x3-4=4(x-1)(x2+x+1).令f′(x)=0,得x=1.又x∈(-1,1)∴该方程无解,故函数f(x)在(-1,1)上既无极值也无最值.故选D.7.函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值

6、分别是(  )A.5,-15B.5,4C.-4,-15D.5,-16[答案] A[解析] y′=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1),令y′=0,得x=2或x=-1(舍).∵f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,∴ymax=5,ymin=-15,故选A.8.已知函数y=-x2-2x+3在[a,2]上的最大值为,则a等于(  )A.-B.C.-D.或-[答案] C[解析] y′=-2x-2,令y′=0得x=-1.当a≤-1时,最大值为f(-1)=4,不合题意.当-1

7、=-(舍去).9.若函数f(x)=x3-12x在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是(  )A.k≤-3或-1≤k≤1或k≥3B.-30得函数的增区间是(-∞,-2)和(2,+∞),由y′<0,得函数的减区间是(-2,2),由于函数在(k-1,k+1)上不是单调函数,所以有k-1<-2

8、)A.[3,+∞)B.[-3,+∞)C.(-3,+∞)D.(-∞,-3)[答案] B[解析] ∵f(x)=x3+ax-2在[1,+∞)上是增函数,∴f′(x)=3x2+a≥0在[1,+∞)上恒成立即a≥-3x2在[1,+∞)上恒成立又∵在[1,+∞)上(-3x2)max=-3∴a≥-3,故应选B.二、填空题11.函数y=x+(1-x),0≤x≤1的最小值为______.[答案] 由y′>0得x>,由y′<0得x<.此函数在上为减函数,在上为增函数,∴最小值在x=时取得,ymin=.12.函数f(x)=5-36x+3x2+4x3在区间[-2,+∞)上的最大值________,

9、最小值为________.[答案] 不存在;-28[解析] f′(x)=-36+6x+12x2,令f′(x)=0得x1=-2,x2=;当x>时,函数为增函数,当-2≤x≤时,函数为减函数,所以无最大值,又因为f(-2)=57,f=-28,所以最小值为-28.13.若函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为________.[答案] -1[解析] f′(x)==令f′(x)=0,解得x=或x=-(舍去)当x>时,f′(x)<0;当00;当x=时,f(x)==,=<1,不合题

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