函数的单调性(第一课时

《函数的单调性(第一课时》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、函数的单调性（第一课时） 【学习目标】1．了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数单调性的方法．2．能用文字语言和数学符号正确表达增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点． 【学习障碍】1．由于对单调性定义的理解不透，误认为它是一个整体性质，实质上是区间内的性质．2．利用定义论证单调性时，推理过程不严密不规范．3．函数单调性的应用意识不强． 【学习策略】Ⅰ．学习导引1．预习课本第P58~59页2．本课时重点是单调性的概念，难点是判断函数的单调性．3．对于函数的单调性，要求①会用作差（商）法证明一些简单函数的单调性．②给出函数解析式时，会确定函数

2、在其定义域内的单调区间．③会利用单调性作图．Ⅱ．知识拓宽应用函数的单调性可以求解不等式，求函数的最值等．Ⅲ．障碍分析1．若函数f（x）在区间D1、D2上分别为增函数，f（x）一定是D1∪D2上的增函数吗？单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．若f（x）在区间D1、D2上分别为增函数，但f（x）不一定在区间D1∪D2上是增函数．例如y＝－在（－∞，0）上是增函数，在（0，＋∞）上也是增函数，但在（－∞，0）∪（0，＋∞）上不是增函数，f（1）＜f（－1）便是一例．2．函数的单调性定义中的x1，x2能否用特殊值来代替？单调性是函数

3、在某一区间上的“整体性质”，因此，定义中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值替代．3．函数的单调性可解决什么样的问题？已知函数在某区间内的单调性，可以比较两个函数值的大小，也可用来求函数在某区间内的值域或最大（小）值，这时常结合函数的图象，运用数形结合的思想方法．［例1］判断函数f（x）＝x＋在区间（0，＋∞）上的单调性，并求出函数的值域．解：任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，f（x1）－f（x2）＝（x1＋）－（x2＋）＝∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞0．且当1≤x1＜x2时，x1x2－1＞0，当0＜x1＜x2≤1时x1x2＜1，x1x

4、2－1＜0∴当x1，x2∈［1，＋∞］时，f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）∴函数y＝x＋在区间（0，1）上是减函数，在区间［1，＋∞］上是增函数．易知y＝x＋（x＞0）时恒有y＞0且当x＝1时，ymin＝2．从而值域为［2，＋∞）点评：函数y＝x＋（a≠0）是一类经常用到的函数，当a≠0时，它有两个减区间［－，0］，（0，）．同时有两个增区间［，＋∞），（－∞，－］．［例2］判断下列函数的单调性（1）f（x）＝－x2＋3x－2；（2）f（x）＝3

5、x

6、．解：（1）f（x）＝－（x－）2＋∵f（x）＝－（x－）2＋的图象是开口向下的抛物线，对称轴

7、为x＝∴f（x）在（－∞，）上是增函数，在［，＋∞］上是减函数．（2）f（x）＝∴由f（x）的图象可知，f（x）在（－∞，0］上是减函数，在［0，＋∞）上是增函数．Ⅲ．思维拓展［例3］判定并证明下列函数在指定区间内的单调性（1）y＝－x3＋1（x∈R）．（2）y＝－ax（a∈［1，＋∞），x∈［0，＋∞））．（1）解法一：在（－∞，＋∞）上任取x1、x2，使x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝（－x13＋1）－（－x23＋1）＝x23－x13＝（x2－x1）（x22＋x1x2＋x12）∵x1＜x2，∴x2－x1＞0若x1·x2＞0，则x22＋x1x2＋x12＞0

8、，若x1·x2＝0，由x1≠x2，则x12＋x22＞0也有x22＋x1x2＋x12＞0若x1·x2＜0，x22＋x1x2＋x12＝（x1＋x2）2－x1x2＞0∴对于任意的x1＜x2都有x22＋x1x2＋x12＞0∴f（x1）－f（x2）＝（x2－x1）（x22＋x1x2＋x12）＞0即f（x1）＞f（x2）∴y＝f（x）＝－x3＋1在R上是减函数．解法二：在（－∞，＋∞）上任取x1、x2，使x1＜x2则f（x1）－f（x2）＝x23－x13＝（x2－x1）（x22＋x1x2＋x12）＝（x2－x1）［（x2＋）2＋x12］∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，且x1，

9、x2不同时为零，∴（x2＋）2与x12不同时为零，即（x2＋）2＋x12＞0∴f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）∴y＝f（x）＝－x3＋1在R上是减函数．（2）解：任取x1，x2∈［0，＋∞），且x1＜x2，f（x1）－f（x2）＝（－ax1）－（－ax2）＝（）－a（x1－x2）＝－a（x1－x2）＝（x1－x2）（－a）∵x1，x2∈［0，＋∞］，且x1＜∴x1＋x2＜从而＜1，又a∈［1，＋∞］∴－a＜0∴f（x1）－f（x2）＝（x1－x2）（－a）＞0即f（x1）＞f（x2）∴y＝f（x）＝－ax（a∈［1，＋∞））在区间［0，＋∞）上

10、是单调减函