高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 排列（第3课时）教案 新人教a版选修2-3

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1、1.2.1　排列第三课时教学目标　　　　　知识与技能利用捆绑法、插空法解决排列问题．过程与方法经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程，从中体会“化归”的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力．重点难点　　　　　教学重点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．教学难点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．提出问题：7位同学排队，根据上一节课所学的方法，解决下列排列问题．(1)7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？(2)7位同学站成两排(前3后4)，共有多少种不同的排法？(3)

2、7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(4)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(5)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？活动设计：学生自己做，找学生到黑板上板演．活动成果：解：(1)问题可以看作：7个元素的全排列A＝5040.(2)根据分步乘法计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040.(3)问题可以看作：余下的6个元素的全排列A＝720.(4)根据分步乘法计数原理：第一步甲、乙站在两端有A种；第二步余下的5名同学进行全排列有A种，所以，共有A·

3、A＝240种排列方法．(5)第一步从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列)有A种方法，所以一共有AA＝2400种排列方法．类型一：捆绑法例17位同学站成一排，(1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？(3)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？(4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种？解：(1)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素，

4、与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A种方法．所以这样的排法一共有AA＝1440种．(2)方法同上，一共有AA＝720种．(3)解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A种方法．所以这样的排法一共有AAA＝960种．解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个

5、元素，若丙站在排头或排尾有2A种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有(A－2A)·A＝960种．解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有A种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有AAA＝960种．(4)将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有2个元素，∴一共有排法种数：AAA＝288种．点评：对于相邻问题，常用“捆绑法

6、”(先捆后松)．【巩固练习】某商场中有10个展架排成一排，展示10台不同的电视机，其中甲厂5台，乙厂3台，丙厂2台，若要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，则不同的陈列方式有多少种？解：将甲厂5台不同的电视机“捆绑”在一起看成一个元素，乙厂3台不同的电视机“捆绑”在一起看成一个元素，丙厂2台不同的电视机“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有3个元素，甲不放两端，甲有1种排法，乙、丙排在两端有A种排法，共有AAAA＝2880种不同的排法．【变练演编】7位同学站成一排，(1)甲、乙两同学之间恰好有一个人的排法共有多少种？

7、(2)甲、乙两同学之间恰好有两个人的排法共有多少种？解：(1)先在甲、乙两同学之间排一个人，有A种不同的排法，把甲、乙和中间的一人“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有5个元素，共有AAA＝1200种不同的排法．(2)先在甲、乙两同学之间排两个人，有A种不同的排法，把甲、乙和中间的两人“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有4个元素，共有AAA＝960种不同的排法．类型二：插空法例27位同学站成一排，(1)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(2)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：(1)方法一：(排除法)A

8、－A·A＝3600；方法二：(插空法)先将其余五个同学排好有A种方法，此时他们留下六个位置(称为“空”)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有A种方法，所以一共有AA＝3600种方法．(2)先将其余四个同学排好有A种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有A种方法，