高中数学 2.2 直线的方程 2.2.3.2 两条直线垂直的条件教案 新人教b版必修2

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1、2.2.3.2两条直线垂直的条件示范教案教学分析　　　　　教材将任意两直线垂直关系转化为过原点的两直线垂直来讨论垂直的条件．在实际教学中，要让学生自己归纳、总结两条直线垂直的条件，避免教师给出结论，马上做练习题的教学方式．三维目标　　　　　1．归纳两条直线垂直的条件，提高学生的归纳能力．2．利用两条直线垂直的条件解决垂直问题，提高学生解决问题的能力．重点难点　　　　　教学重点：两条直线垂直的条件及其应用．教学难点：归纳两条直线垂直的条件．课时安排　　　　　1课时导入新课　　　　　设计1.上一节我们学习了利用直线方程讨论两直线相交的条件，垂直是相交的特例，那么

2、怎样用直线方程来讨论两直线垂直的条件呢？教师引出课题．设计2.平行与垂直是解析几何中最重要的位置关系，我们已经会用直线方程来讨论两直线平行，今天我们学习用直线方程来讨论两直线垂直，教师引出课题．推进新课　　　　　讨论结果：(1)l与l′平行或重合(2)由于直线l1与直线A1x＋B1y＝0平行或重合，直线l2与直线A2x＋B2y＝0平行或重合，因此我们研究l1和l2垂直的条件时，可转化为研究直线l1′：A1x＋B1y＝0和l2′：A2x＋B2y＝0垂直的条件．(3)假定l1，l2都不与坐标轴平行或重合．如下图，当l1⊥l2时，通过坐标原点作直线l1′∥l1和l

3、2′∥l2，则l1′和l2′互相垂直．在直线l1′，l2′上，分别取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(都不是原点)．由勾股定理，得x＋y＋x＋y＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.化简，得x1x2＋y1y2＝0.由假定可知B1≠0，B2≠0，因此y1＝－x1，y2＝－x2.代入上式，得x1x2(1＋)＝0.因为A，B都不在y轴上，所以x1x2≠0，因此1＋＝0，①即A1A2＋B1B2＝0.②由于上面推导的每一步都是可逆的，因此，由②式可以证明两条直线l1′与l2′垂直，从而也就证明了l1与l2垂直．假定l1，l2中有一条直线与坐标轴平行或重合．当l1

4、⊥l2时，可以推出l1，l2中的另一条也与坐标轴平行或重合，因此同样有A1A2＋B1B2＝0.反过来，由条件A1A2＋B1B2＝0也可以推出l1⊥l2.总结以上讨论，我们得到，对坐标平面内的任意两条直线l1和l2，有如果B1B2≠0，则l1的斜率k1＝－，l2的斜率k2＝－.由上面的①式，又可以得出(4)计算步骤：①给A1，B1，C1，A2，B2，C2赋值；②计算M＝A1A2＋B1B2；③若M＝0，则l1⊥l2；若M≠0，则l1与l2不垂直．思路1例1判断下列各组中的两条直线是否垂直：(1)2x－4y－7＝0与2x＋y－5＝0；(2)y＝3x＋1与y＝－x＋

5、5；(3)2x＝7与3y－5＝0.解：(1)因为A1＝2，B1＝－4，A2＝2，B2＝1，得A1A2＋B1B2＝2×2＋(－4)×1＝0，所以这两条直线垂直．(2)由k1＝3，k2＝－，得k1k2＝3×(－)＝－1，所以这两条直线垂直．(3)因为A1＝2，B1＝0，A2＝0，B2＝3，得A1A2＋B1B2＝2×0＋0×3＝0，所以这两条直线垂直．此题也可以直接看出直线2x＝7平行于y轴，直线3y－5＝0平行于x轴，从而可以判断这两条直线垂直．点评：判定两直线垂直时，由一般式给出的直线方程，用A1A2＋B1B2＝0来判定；由斜截式给出的方程可以用k1k2＝－1

6、来判定．变式训练判断下列两直线是否垂直，并说明理由．(1)l1：y＝4x＋2，l2：y＝－x＋5；(2)l1：5x＋3y＝6，l2：3x－5y＝5；(3)l1：y＝5，l2：x＝8.解：(1)设两直线的斜率分别是k1，k2，则k1＝4，k2＝－，有k1·k2＝4×(－)＝－1，所以l1⊥l2.(2)因为A1＝5，B1＝3，A2＝3，B2＝－5，A1A2＋B1B2＝5×3＋3×(－5)＝0，所以l1⊥l2.(3)因为l1平行于x轴，l2垂直于x轴，所以l1⊥l2.例2求证：直线Ax＋By＋C1＝0与直线Bx－Ay＋C2＝0垂直．证明：因为AB＋B(－A)＝0，

7、所以这两条直线垂直．点评：一般地，我们可以把与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程表示为Bx－Ay＋D＝0.同样可证明与直线y＝kx＋b(k≠0)垂直的直线可表示为y＝－x＋b1.变式训练求通过下列各点且与已知直线垂直的直线方程：(1)(－1,3)，y＝2x－3；(2)(1,2)，2x＋y－10＝0.解：(1)设所求直线方程为y＝－x＋b.因为直线过点(－1,3)，代入方程，得b＝，所以所求方程为y＝－x＋，即x＋2y－5＝0.(2)设所求的直线方程为x－2y＋C＝0.因为直线过点(1,2)，代入方程，得C＝3，所以所求直线方程为x－2y＋3＝0.思路2例3

8、已知A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)三点，