高中数学 2.2 直线的方程 2.2.3 两条直线的位置关系课堂探究 新人教b版必修2

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1、2.2.3两条直线的位置关系课堂探究探究一　判断两条直线的位置关系1．(1)判断两条直线平行，需要判断其斜率相等(斜率存在时)，即k1＝k2.两条直线斜率相等，则两条直线可能平行也可能重合，还需要再进一步判断截距不相等，即b1≠b2.如果两条直线的斜率不存在，两条直线的方程为x＝a1，x＝a2，只需a1≠a2即可；(2)判断两条直线平行，也可用系数比．2．判断两条直线垂直：(1)如果斜率都存在，只判断k1k2＝－1，如果一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率必等于零，从斜率的角度判断，应注意上面的两种情况；(2)利用A1A2＋B1B2＝0判断

2、．【典型例题1】判断下列各组直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标．(1)l1：4x＋3y－2＝0与l2：x＋2y＋2＝0；(2)l1：x＋2y－＝0与l2：2x＋4y－1＝0；(3)l1：x－3y＝0与l2：y＝x＋1.思路分析：判断两直线位置关系的解法有三种：一是根据方程组的解的个数判定；二是根据方程的系数间的关系判定；三是化成斜截式方程判定．解法一：(1)解方程组①×2－②×3得5x－10＝0，所以x＝2.将x＝2代入①得y＝－2，所以两直线相交，交点坐标为(2，－2)．(2)解方程组①×2－②得0＝0，即此方程组有无数多个解，所以两直线

3、重合．(3)解方程组由①得x＝3y，代入②得y＝y＋1，即0＝1不成立，所以方程组无解，所以两直线平行．解法二：(1)由于A1＝4，B1＝3，C1＝－2，A2＝1，B2＝2，C2＝2，所以D1＝A1B2－A2B1＝4×2－1×3＝5≠0，所以两直线相交．解方程组得所以两直线的交点为(2，－2)．(2)由于A1＝1，B1＝2，C1＝－，A2＝2，B2＝4，C2＝－1，所以D1＝A1B2－A2B1＝1×4－2×2＝0，D2＝A1C2－A2C1＝1×(－1)－2×＝－1＋1＝0，所以两直线重合．(3)由于A1＝1，B1＝－3，C1＝0，A2＝，B2＝

4、－1，C2＝1，所以D1＝A1B2－A2B1＝1×(－1)－×(－3)＝－1＋1＝0，D2＝A1C2－A2C1＝1×1－×0＝1－0＝1≠0，所以两直线平行．解法三：(1)l1：y＝－x＋，l2：y＝－x－1.因为k1≠k2，所以两直线相交．(2)l1：y＝－x＋，l2：y＝－x＋.因为k1＝k2且b1＝b2，所以两直线重合．(3)l1：y＝x，l2：y＝x＋1.因为k1＝k2且b1≠b2，所以两直线平行．点评　根据方程组解的个数判断两直线位置关系，当x，y的系数是未知数时不好用；利用方程的系数间的关系判定难记忆；化成斜截式易操作．探究二　利用

5、两条直线的位置关系确定参数利用两直线的位置关系求字母参数取值时，提倡直接根据两直线平行、相交或垂直的系数整式条件列方程或不等关系，这样不易丢解或增解；若用比例式求解，一定要对特殊情况单独讨论．【典型例题2】(1)直线l1：(m＋2)x＋(m2－3m)y＋4＝0，l2：2x＋4(m－3)y－1＝0，如果l1∥l2，求m的值；(2)直线l1：ax＋(1－a)y＝3与l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，求a的值．思路分析：既可以用直线一般式方程形式判断，也可以用斜率的关系求解，但需考虑斜率不存在的情况．(1)解法一：当l1，l2的斜率都存

6、在时，由l1∥l2，得＝，解得m＝－4；当l1，l2的斜率不存在时，l1与l2的方程分别为x＝－，x＝，显然l1∥l2，m＝3.故m＝－4或m＝3即为所求．解法二：若l1∥l2，则有解得m＝－4.当m＝3时，直线l1与l2的方程分别为x＝－，x＝，显然l1∥l2，综上所述m＝－4或m＝3.(2)解法一：当a＝1时，l1为x＝3，l2为y＝，故l1⊥l2；当a＝－时，l1的方程为－x＋y＝3，l2的方程为－x＝2，显然l1，l2不垂直；当a≠1，且a≠－时，由k1·k2＝－1，得×＝－1，解得a＝－3.综上所述，当a＝1或a＝－3时，l1⊥l2.

7、解法二：利用A1A2＋B1B2＝0，即a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3.探究三　求与已知直线平行或垂直的直线方程1．求与直线y＝kx＋b平行的直线的方程时，根据两直线平行的条件可设为y＝kx＋m(m≠b)，然后通过待定系数法，求参数m的值．2．求与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程时，可设方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，代入已知条件求出m即可．3．求与直线y＝kx＋b(k≠0)垂直的直线方程时，根据两直线垂直的条件可设为y＝－x＋m(k≠0)，然后通过待定系数法，求参数m的值．4．求与直线Ax＋By＋C＝0(

8、A，B不同时为零)垂直的直线时，可巧设为Bx－Ay＋m＝0(A，B不同时为零)，然后用待定系数法，求出m.【典型例题3】已知点A(2,2)和直线l：3