2014高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）简单的三角恒等变换

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1、第六节简单的三角恒等变换[知识能否忆起]半角公式(不要求记忆)1．用cosα表示sin2，cos2，tan2.sin2＝；cos2＝；tan2＝.2．用cosα表示sin，cos，tan.sin＝±；cos＝±；tan＝±.3．用sinα，cosα表示tan.tan＝＝.[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知cosα＝，α∈(π，2π)，则cos等于(　　)A.　　　　　　　　　　B．－C.D．－解析：选B　∵cosα＝，α∈(π，2π)，∴∈，∴cos＝－＝－＝－.2．已知函数f(x)＝cos2－cos2，则f等于(　　)A.B．－C.D．－解

2、析：选B　f(x)＝cos2－sin2＝－sin2x，∴f＝－sin＝－.3．已知tanα＝，则等于(　　)A．3B．6C．12D.解析：选A　＝＝2＋2tanα＝3.4.＝________.解析：＝＝＝.答案：5．若＝2013，则＋tan2α＝________.解析：＋tan2α＝＝＝＝＝2013.答案：2013　　三角恒等变换的常见形式三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．(2)三角函数求值分为给值求值(条件

3、求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．三角函数式的化简典题导入[例1]　化简.[自主解答]　原式＝＝＝＝cos2x.由题悟法三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分

4、式要通分”等．以题试法1．化简·.解：法一：原式＝·＝·＝·＝·＝.法二：原式＝·＝·＝·＝.三角函数式的求值典题导入[例2]　(1)(2012·重庆高考)＝(　　)A．－　　　　　　　　B．－C.D..(2)已知α、β为锐角，sinα＝，cos＝－，则2α＋β＝________.[自主解答]　(1)原式＝＝＝＝sin30°＝.(2)∵sinα＝，α∈，∴cosα＝，∵cos(α＋β)＝－，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝，∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝×＋×＝0.又2α

5、＋β∈.∴2α＋β＝π.[答案]　(1)C　(2)π由题悟法三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．以题试法2．(2012·广州一测)已知函数f(x)＝tan.(1)求f的

6、值；(2)设α∈，若f＝2，求cos的值．解：(1)f＝tan＝＝＝－2－.(2)因为f＝tan＝tan(α＋π)＝tanα＝2，所以＝2，即sinα＝2cosα.①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②解得cos2α＝.因为α∈，所以cosα＝－，sinα＝－.所以cos＝cosαcos＋sinαsin＝－×＋×＝－.三角恒等变换的综合应用典题导入[例3]　(2011·四川高考)已知函数f(x)＝sin＋cos，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0＜α＜β≤，求证：[f(β)]2－2

7、＝0.[自主解答]　(1)∵f(x)＝sin＋cos＝sin＋sin＝2sin，∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.(2)证明：由已知得cosβcosα＋sinβsinα＝，cosβcosα－sinβsinα＝－.两式相加得2cosβcosα＝0.∵0＜α＜β≤，∴β＝.∴[f(β)]2－2＝4sin2－2＝0.在本例条件不变情况下，求函数f(x)的零点的集合．解：由(1)知f(x)＝2sin，∴sin＝0，∴x－＝kπ(k∈Z)，∴x＝kπ＋(k∈Z)．故函数f(x)的零点的集合为.由题悟法三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合

8、，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问