2014高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）圆的方程

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1、圆_的_方_程[知识能否忆起]1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心：，半径：2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0

2、)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2

3、＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为(　　)A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1解析：选A　设圆心坐标为(0，b)，则由题意知＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.4．(2012·潍坊调研)圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋y－3＝0的距离为________．解析：圆心(1,0)，d＝＝1.答案：15．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x＋y

4、－2＝0相切的圆的方程为____________________．解析：设圆的方程为x2＋y2＝a2(a＞0)∴＝a，∴a＝，∴x2＋y2＝2.答案：x2＋y2＝21.方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：(1)B＝0；(2)A＝C≠0；(3)D2＋E2－4AF＞0.2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．圆的方程的求法典题导入[例1]　(1

5、)(2012·顺义模拟)已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C的方程为(　　)A.2＋y2＝　　B.2＋y2＝C．x2＋2＝D．x2＋2＝(2)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________________．[自主解答]　(1)由已知知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，b)，半径为r，则rsin＝1，rcos＝

6、b

7、，解得r＝，

8、b

9、＝，即b＝±.故圆的方程为x2＋2＝.(2)圆C的方程为x2

10、＋y2＋Dx＋F＝0，则解得圆C的方程为x2＋y2－4x－6＝0.[答案]　(1)C　(2)x2＋y2－4x－6＝0由题悟法1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r或D，E，F的方程组．2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．以题试法1．(2012·浙江五校联考)过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆的方程是(　　)A．(x－4)2＋(y－2)2＝1　　B．x2＋(y－2)2＝4C．

11、(x＋2)2＋(y＋1)2＝5D．(x－2)2＋(y－1)2＝5解析：选D　易知圆心为坐标原点O，根据圆的切线的性质可知OA⊥PA，OB⊥PB，因此P，A，O，B四点共圆，△PAB的外接圆就是以线段OP为直径的圆，这个圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5.与圆有关的最值问题典题导入[例2]　(1)(2012·湖北高考)过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)

12、x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为(　　)A．x＋y－2＝0B．y－1＝0C．x－y＝0D

13、．x＋3y－4＝0(2)P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，则x2＋y2的最小值为________．[自主解答]　(1)当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与P点连线的斜率k＝1，∴直线OP垂直于x＋y－2＝0.(2)由C(1,1)得

14、OC

15、＝，则

16、OP

17、min＝－1，即()min＝－1.所以x2＋y2的最小值为(－1)2＝3－2.[答案]　(1)A　(2)3－2由题悟法解决与圆有关的最值问题的常用方法(1)形如u＝的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上