2014高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）导数的应用(2)

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1、第十三节导数的应用(二)利用导数研究恒成立问题及参数求解典题导入[例1]　已知函数f(x)＝x2lnx－a(x2－1)，a∈R.(1)当a＝－1时，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x≥1时，f(x)≥0成立，求a的取值范围．[自主解答]　(1)当a＝－1时，f(x)＝x2lnx＋x2－1，f′(x)＝2xlnx＋3x.则曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝3，又f(1)＝0，所以切线方程为3x－y－3＝0.(2)f′(x)＝2xlnx＋(1－2a)x＝x(2lnx＋1－2a)，其中x≥1.当a≤时，因为

2、x≥1，所以f′(x)≥0，所以函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故f(x)≥f(1)＝0.当a>时，令f′(x)＝0，得x＝ea－.若x∈[1，ea－)，则f′(x)<0，所以函数f(x)在[1，ea－)上单调递减．所以当x∈[1，ea－)时，f(x)≤f(1)＝0，不符合题意．综上a的取值范围是.由题悟法利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解．(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立的问题．

3、(3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图象，数形结合求解．以题试法1．设函数f(x)＝x2＋ex－xex.(1)求f(x)的单调区间；(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，∵f′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝x(1－ex)，若x＝0，则f′(x)＝0；若x<0，则1－ex>0，所以f′(x)<0；若x>0，则1－ex<0，所以f′(x)<0.∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，即f(x)的单调减区间为(－∞，＋∞)．(2

4、)由(1)知，f(x)在[－2,2]上单调递减．故[f(x)]min＝f(2)＝2－e2，∴m<2－e2时，不等式f(x)>m恒成立．故m的取值范围为(－∞，2－e2)．利用导数证明不等式问题典题导入[例2]　已知f(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g(x)＝，其中e是自然常数，a∈R.(1)讨论a＝1时，函数f(x)的单调性和极值；(2)求证：在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋.[自主解答]　(1)∵f(x)＝x－lnx，f′(x)＝1－＝，∴当00，此时f(x)单

5、调递增．∴f(x)的极小值为f(1)＝1.(2)证明：由(1)知[f(x)]min＝1.又g′(x)＝，∴当00，g(x)在(0，e]上单调递增．∴[g(x)]max＝g(e)＝<.∴[f(x)]min－[g(x)]max>.∴在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋.在本例条件下，是否存在正实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解：假设存在正实数a，使f(x)＝ax－lnx(x∈(0，e])有最小值3.因为f′(x)＝a－＝，当0<

6、n＝f＝1＋lna＝3，a＝e2，满足条件；当≥e时，f(x)在(0，e]上单调递减，[f(x)]min＝f(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)，所以，此时a不存在．综上，存在实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时f(x)有最小值3.由题悟法利用导数方法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数的单调性，确定函数的最值证明h(x)>0.以题试法2．已知f(x)＝xlnx.(1)求g(x)＝(k∈R)的单调区间；(2)证明：当x≥1时，2x－e≤f(x)恒成立．解：(1)g(x)＝lnx＋，∴令

7、g′(x)＝＝0得x＝k.∵x>0，∴当k≤0时，g′(x)>0.∴函数g(x)的增区间为(0，＋∞)，无减区间；当k>0时g′(x)>0得x>k；g′(x)<0得0

8、块AMPN，规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角