2014届高考数学一轮练之乐 1.6.4基本不等式及其应用 文

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1、【师说系列】2014届高考数学一轮练之乐1.6.4基本不等式及其应用文一、选择题1.设a>0,b>0.若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为(  )A.8     B.4     C.1    D.解析:由题意有()2=3a·3b⇒a+b=1,又a>0,b>0,∴+=(+)(a+b)=1+++1≥2+2=4,∴+的最小值为4.答案:B2.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=(  )A.1+B.1+C.3D.4解析:当x>2时,x-2>0,f(x)=(x-2)++2≥2+2=4,当且仅当x-2=(x>2),即x=3时取

2、等号,即当f(x)取得最小值时,x=3,即a=3,选C.答案:C3.设x,y∈R,a>1,b>1.若ax=by=3,a+b=2,则+的最大值为(  )A.2B.C.1D.解析:由ax=by=3,得x=loga3,y=logb3,∴+=log3(ab)≤log3()2=1,故选C.答案:C4.当x>2时,不等式x+≥a恒成立,则实数a的(  )A.最小值是8B.最小值是6C.最大值是8D.最大值是6解析:x+=(x-2)++2≥4+2=6,又x+≥a恒成立,故a≤6,所以a的最大值为6.答案:D5.已知x>0,y>0,且+=1,若x+2y>

3、m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是(  )A.m≥4,或m≤-2B.m≥2,或m≤-4C.-2<m<4D.-4<m<2解析:∵x>0,y>0,且+=1,∴x+2y=(x+2y)(+)=4++≥4+2=8,当且仅当=,即4y2=x2,x=2y时取等号,又+=1,此时x=4,y=2.∴(x+2y)min=8,要使x+2y>m2+2m恒成立,只需(x+2y)min>m2+2m成立,即8>m2+2m,解得-4<m<2.答案:D6.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用

4、为1元,为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品(  )A.60件B.80件C.100件D.120件解析:若每批生产x件产品,则每件产品的生产准备费用是,存储费用是,总的费用是+≥2=20,当且仅当=时取等号,即x=80.答案:B二、填空题7.已知log2a+log2b≥1,则3a+9b的最小值为__________.解析:log2a+log2b=log2(ab).∵log2a+log2b≥1,∴ab≥2且a>0,b>0.3a+9b=3a+32b≥2=2≥2≥2=18,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时等号成立

5、.∴3a+9b的最小值为18.答案:188.若实数x、y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是__________.解析:∵xy≤(x+y)2,∴1=x2+y2+xy=(x+y)2-xy≥(x+y)2-(x+y)2=(x+y)2,∴(x+y)2≤,∴-≤x+y≤,当x=y=时,x+y取得最大值.答案:9.在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线与函数f(x)=的图象交于P,Q两点,则线段PQ长的最小值是__________.解析:由题意知:P、Q两点关于原点O对称,不妨设P(m,n)为第一象限中的点,则m>0,n>0,n=,所

6、以

7、PQ

8、2=4

9、OP

10、2=4(m2+n2)=4(m2+)≥16(当且仅当m2=),即m=时,取等号),故线段PQ长的最小值是4.答案:4三、解答题10.设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A、B、C三点共线,求+的最小值.解析:=-=(a-1,1),=-=(-b-1,2),∵与共线,∴2(a-1)+b+1=0,即2a+b=1.∵a>0,b>0,∴+=(+)(2a+b)=4++≥4+4=8,当且仅当=,即b=2a时等号成立.∴+的最小值为8.11.如图所示,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相

11、等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm)能使矩形广告面积最小?解析:方法一:设矩形栏目的高为acm,宽为bcm,则ab=9000.①广告的高为a+20,宽为2b+25,其中a>0,b>0.广告的面积S=(a+20)(2b+25)=2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b≥18500+2=18500+2=24500.当且仅当25a=40b时等号成立,此时b=a,代入①式得a=120,从而b

12、=75,即当a=120,b=75时,S取得最小值24500,故广告的高为140cm,宽为175cm时,可使广告的面积最小.方法二:设广告的高和宽分别为xcm,ycm,则每栏的高和宽分别为x-2

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