2、x)=xf(x),∴g′(x)=xf′(x)+f(x)>0.∴g(x)在R上为增函数.∴g(a)>g(b),即af(a)>bf(b).3.若直线y=kx与曲线相切,则k=.【答案】2或【解析】∵∴y′.∵直线和曲线均过原点.当原点是切点时,切线斜率k=y′
3、.当原点不是切点时,设切点为其中则切线的斜率.又k=y′
4、∴.又∵切点在曲线上,∴.∴.由于∴.∴k=y′
5、.综上所述,k=2或.4.如图,有一圆锥形容器,其底面半径等于圆锥的高,若以9/s的速度向该容器注水,则水深10cm时水面上升的速度为cm/s.【答
6、案】【解析】设经过xs时水深为hcm,则9∴h′.当h=10时′.1.已知′(1),则f′(0)=.【答案】-4【解析】f′(x)=2x+2f′(1),∴f′(1)=-2.∴f′(x)=2x-4.∴f′(0)=-4.2.曲线和在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是.【答案】【解析】两曲线方程联立得解得∵y′∴2x
7、∴两切线方程为x+y-2=0,2x-y-1=0.所围成图形如图所示,∴.3.若曲线lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.【答案】a<0【解析】f′若函数存在垂直于y轴
8、的切线,即有解∵x>0,∴.∴a<0.4.设P为曲线C:x+1上一点,曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[-1,3],则点P纵坐标的取值范围是.【答案】【解析】设′
9、[-1,3],∴.而当a=时,.a=2时故P点纵坐标范围是.5.已知曲线S:及点P(2,2),则过点P可向S引切线,其切线共有条.【答案】3【解析】设S上点处的切线过P.∵y′∴y′
10、.∵′
11、∴整理得即.∴或.∴切线有3条.6.若点P是曲线lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为.【答案】【解析】由题意可得,当点P到直线y=
12、x-2的距离最小时,点P为曲线lnx的一切线切点,且该切线平行于直线y=x-2,令y′解得x=1或舍去),所以P(1,1).故点P到直线y=x-2的最小距离为d=.7.设f(x)是偶函数.若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1,则该曲线在点(-1,f(-1))处的切线的斜率为.【答案】-1【解析】当x无限趋近于0时无限趋近于f′(1)=1,所以,当x无限趋近于0时无限趋近于-f′(1)=-1.8.已知点P在曲线上为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是.【答案】)【解析】
13、y′∵e∴′<0,即tan.∴).9.设曲线N在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为令lg则…+的值为.【答案】-2【解析】则y′故y′
14、∴切线方程为y-1=(n+1)(x-1).令y=0,则.∴lg.∴…lglg…+lglg.10.已知函数f(x)=x+(t>0)和点P(1,0),过点P作曲线y=f(x)的两条切线PM,PN,切点分别为.(1)求证:为关于x的方程的两根;(2)设MN=g(t),求函数g(t)的表达式.(1)【证明】由题意可知.∵f′∴切线PM的方程为.又∵切线PM
15、过点P(1,0),∴即.①同理,由切线PN也过点P(1,0),得=0.②由①②可得是方程0(*)的两根.(2)【解】由(*)知∴.
