2013年高考数学 热点专题专练 2-7空间向量与立体几何 理

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1、高考专题训练(七) 空间向量与立体几何时间:45分钟 分值:75分一、选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项填在括号里.1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为棱AA1和BB1的中点,则sin〈,〉的值为(  )A.         B.C.D.解析 以D为原点,DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建系,设正方体棱长为1,则C(0,1,0),M,D1(0,0,1),N,∴=,=,∴cos〈,〉==-,∴sin〈,〉=.故选B.答案 B2.已知直二面角α-l-β,点A∈

2、α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于(  )A.B.C.D.1解析 由2=(++)2=2+2+2+2·+2·+2·=1+

3、

4、2+1,所以

5、CD

6、=.过D作DE⊥BC于E,则DE⊥面ABC,DE即为点D到平面ABC的距离.在Rt△BCD中,BC2=BD2+CD2=3,∴BC=.DE·BC=BD·CD,∴DE=.答案 C3.在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D、E、F分别是棱AB、BC、CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角

7、的正弦值为(  )A.B.C.D.解析 以A为原点,AB、AC、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系,由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D,E,F,∴=(0,0,2),=,=,设面DEF的法向量为n=(x,y,z),则由得取z=1,则n=(2,0,1),设直线PA与平面DEF所成角为θ,则sinθ==,∴直线PA与平面DEF所成角为arcsin,故选C.答案 C4.如图所示,AC1是正方体的一条体对角线,点P、Q分别为其所在棱的中点,则PQ与AC1所

8、成的角为(  )A.B.C.D.解析 如图,设底面中心为O,在对角面ADC1B1中,取AB1的中点为T,TD∥PQ,从而TD与AC1所成的角为所求.由相似可得∠AMD=,故选D.答案 D5.如下图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是AA1的中点,则点A到平面MBD的距离是(  )A.aB.aC.aD.a解析 点A到面MBD的距离由等积变形可得.VA-MBD=VB-AMD.易求d=a.答案 D6.已知平面α与β所成的二面角为80°,P为α,β外一定点,过点P的一条直线与α,β所成的角都是30°,则这样的直线有且仅有( 

9、 )A.1条B.2条C.3条D.4条解析 如上图,点过P作面α、β的垂线PC、PD,其确定的平面与棱l交于Q,过面P的直线与面α、β分别交于A、B两点,若二面角为80°,直线AB与平面α、β成30°,则∠CPD=100°,直线AB与PD、PC成60°,因此问题转化为过P点与直线PD、PC所成角为60°的直线有几条.∵<60°,<60°,∴这样的直线有4条.答案 D二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上.7.已知点E、F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1

10、,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于________.解析 如图,以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设正方体的边长为3.∴A(3,0,0),E(3,3,1),F(0,3,2)∴=(0,3,1),=(-3,3,2)设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),∴⇒令y=1,∴z=-3,x=-1,∴n=(-1,1,-3)又=(0,0,3)为面ABC的一个法向量,设平面AEF与平面ABC所成的二面角为θ∴cosθ=

11、cos〈n,〉

12、==∴sinθ==∴tanθ==.答案 8.已知l1,l2是两条异面直线,α、β、γ是三

13、个互相平行的平面,l1、l2分别交α、β、γ于A、B、C和D、E、F,AB=4,BC=12,DF=10,又l1与α成30°角,则β与γ间的距离是________;DE=________.解析 由直线与平面所成角的定义及平行平面距离定义易得β与γ间距离为6.由面面平行的性质定理可得=,∴=,即=.∴DE=2.5.答案 6 2.59.坐标平面上有点A(-2,3)和B(4,-1),将坐标平面沿y轴折成二面角A-Oy-B,使A,B两点的距离为2,则二面角等于________.解析 如图,AD⊥BC,BC⊥CD,∴BC⊥平面ACD,∴BC⊥AC,AB

14、=2,BC=4,∴AC=2,AD=2,CD=4,∴cosθ==-=-.答案 120°10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则直线DA1与AC间的距离为______

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