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《2013年高考数学 热点专题专练 2-7空间向量与立体几何 理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高考专题训练(七) 空间向量与立体几何时间：45分钟 分值：75分一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在括号里．1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为( )A. B.C.D.解析 以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建系，设正方体棱长为1，则C(0,1,0)，M，D1(0,0,1)，N，∴＝，＝，∴cos〈，〉＝＝－，∴sin〈，〉＝.故选B.答案 B2．已知直二面角α－l－β，点A∈
2、α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于( )A.B.C.D．1解析 由2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋
3、
4、2＋1，所以
5、CD
6、＝.过D作DE⊥BC于E，则DE⊥面ABC，DE即为点D到平面ABC的距离．在Rt△BCD中，BC2＝BD2＋CD2＝3，∴BC＝.DE·BC＝BD·CD，∴DE＝.答案 C3．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D、E、F分别是棱AB、BC、CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角
7、的正弦值为( )A.B.C.D.解析 以A为原点，AB、AC、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，由AB＝AC＝1，PA＝2，得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D，E，F，∴＝(0,0,2)，＝，＝，设面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，则由得取z＝1，则n＝(2,0,1)，设直线PA与平面DEF所成角为θ，则sinθ＝＝，∴直线PA与平面DEF所成角为arcsin，故选C.答案 C4．如图所示，AC1是正方体的一条体对角线，点P、Q分别为其所在棱的中点，则PQ与AC1所
8、成的角为( )A.B.C.D.解析 如图，设底面中心为O，在对角面ADC1B1中，取AB1的中点为T，TD∥PQ，从而TD与AC1所成的角为所求．由相似可得∠AMD＝，故选D.答案 D5．如下图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是AA1的中点，则点A到平面MBD的距离是( )A.aB.aC.aD.a解析 点A到面MBD的距离由等积变形可得．VA－MBD＝VB－AMD.易求d＝a.答案 D6．已知平面α与β所成的二面角为80°，P为α，β外一定点，过点P的一条直线与α，β所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有(
9、 )A．1条B．2条C．3条D．4条解析 如上图，点过P作面α、β的垂线PC、PD，其确定的平面与棱l交于Q，过面P的直线与面α、β分别交于A、B两点，若二面角为80°，直线AB与平面α、β成30°，则∠CPD＝100°，直线AB与PD、PC成60°，因此问题转化为过P点与直线PD、PC所成角为60°的直线有几条．∵<60°，<60°，∴这样的直线有4条．答案 D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．7．已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1
10、，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于________．解析 如图，以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设正方体的边长为3.∴A(3,0,0)，E(3,3,1)，F(0,3,2)∴＝(0,3,1)，＝(－3,3,2)设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，∴⇒令y＝1，∴z＝－3，x＝－1，∴n＝(－1,1，－3)又＝(0,0,3)为面ABC的一个法向量，设平面AEF与平面ABC所成的二面角为θ∴cosθ＝
11、cos〈n，〉
12、＝＝∴sinθ＝＝∴tanθ＝＝.答案 8．已知l1，l2是两条异面直线，α、β、γ是三
13、个互相平行的平面，l1、l2分别交α、β、γ于A、B、C和D、E、F，AB＝4，BC＝12，DF＝10，又l1与α成30°角，则β与γ间的距离是________；DE＝________.解析 由直线与平面所成角的定义及平行平面距离定义易得β与γ间距离为6.由面面平行的性质定理可得＝，∴＝，即＝.∴DE＝2.5.答案 6 2.59．坐标平面上有点A(－2,3)和B(4，－1)，将坐标平面沿y轴折成二面角A－Oy－B，使A，B两点的距离为2，则二面角等于________．解析 如图，AD⊥BC，BC⊥CD，∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥AC，AB
14、＝2，BC＝4，∴AC＝2，AD＝2，CD＝4，∴cosθ＝＝－＝－.答案 120°10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则直线DA1与AC间的距离为______
