2013届高考数学 第八章第八节曲线与方程课后练习 理 人教a版

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1、【三维设计】2013届高考数学第八章第八节曲线与方程课后练习理人教A版一、选择题1.(2012·济南模拟)方程(x-y)2+(xy-1)2=0的曲线是()A.一条直线和一条双曲线B.两条双曲线C.两个点D.以上答案都不对解析:(x-y)2+(xy-1)2=0⇔∴或答案:C2.长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动,=2,则点C的轨迹是()A.线段B.圆C.椭圆D.双曲线解析:设C(x,y),A(a,0),B(0,b),则a2+b2=9,①又=2,所以(x-a,y)=2(-x,b-y),即②

2、代入①式整理可得x2+=1.答案:C3.如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆解析:由条件知PM=PF,∴PO+PF=PO+PM=OM>OF∴P点的轨迹是以O、F为焦点的椭圆.答案:A4.已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()A.y2-=1(y≤-1)B.y2-=1(y≥1)

3、C.x2-=1(x≤-1)D.x2-=1(x≥1)解析:由题意知AC=13,BC=15,AB=14,又AF+AC=BF+BC,∴AF-BF=BC-AC=2,故点F的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的下支.又c=7,a=1,b2=48,∴点F的轨迹方程为y2-=1(y≤-1).答案:A5.已知定点A(2,0),它与抛物线y2=x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为()A.y2=2(x-1)B.y2=4(x-1)C.y2=x-1D.y2=(x-1)解析:设P(x0,y0),M(x,y),则所以,由于

4、y=x0,所以4y2=2x-2.即y2=(x-1).答案:D二、填空题6.已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0)、B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是____________.解析:设抛物线焦点为F,过A、B、O作准线的垂线AA1、BB1、OO1,则AA1+BB1=2OO1=4,由抛物线定义得AA1+BB1=FA+FB,∴FA+FB=4,故F点的轨迹是以A、B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).答案:+=1(y≠0)7.直线+=1与x、y轴交点的中点的轨迹

5、方程是__________.解析:(参数法)设直线+=1与x、y轴交点为A(a,0)、B(0,2-a),A、B中点为M(x,y),则x=,y=1-,消去a,得x+y=1,∵a≠0,a≠2,∴x≠0,x≠1.答案:x+y=1(x≠0,x≠1)三、解答题8.如图,已知F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过点P作l的垂线,垂足为点Q,且·=·.求动点P的轨迹C的方程.解:法一:设点P(x,y),则Q(-1,y),由·=·,得(x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化简得C:

6、y2=4x.法二:由·=·,得·(+)=0,∴(-)·(+)=0,∴2-2=0.∴=.∴点P的轨迹C是抛物线,由题意,轨迹C的方程为y2=4x.9.已知定点F(0,1)和直线l1:y=-1,过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程;(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q,交直线l1于点R,求·的最小值.解:(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离,∴点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线,∴动点C的轨迹方程为x2=4y.(2)由题意知,直线l2的方程可设为y=k

7、x+1(k≠0),与抛物线方程联立消去y,得x2-4kx-4=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4.又易得点R的坐标为(-,-1),∴·=(x1+,y1+1)·(x2+,y2+1)=(x1+)(x2+)+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+(+2k)(x1+x2)++4=-4(1+k2)+4k(+2k)++4=4(k2+)+8.∵k2+≥2,当且仅当k2=1时取等号,∴·≥4×2+8=16,即·的最小值为16.10.(2011·天津高考)在平面直

8、角坐标系xOy中,点P(a,b)(a>b>0)为动点,F1、F2分别为椭圆+=1的左、右焦点.已知△F1PF2为等腰三角形.(1)求椭圆的离心率e;(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,M是直线PF2上的点.满足·=-2,求点M的轨迹方程.解:(1)设F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).由题意,可得PF2=F1F2,即=2c,整理得2()2+-1=0,得=-1(舍),或=.所以e=.(2)由(1)知a=2c,b=c,可得椭圆方程为3x2+4y

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