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时间:2020-01-22
《第八章 第八节 曲线与方程.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.[理要点]一、曲线与方程在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.那么,这个方程叫做;这条曲线叫做.曲线的方程方程的曲线二、求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系.(2)设点——设轨迹上的任一点P(x,y).(3)列式——列出动点P所满足的关系式.(4)代换——依条件式的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为x,y的方程式,并化简.(5)证明
2、——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.三、曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x,y)=0,曲线C2的方程为F2(x,y)=0,则C1,C2的交点坐标即为方程组的实数解,若此方程组,则两曲线无交点.无解[究疑点]若曲线与方程的对应关系中只满足(2)条会怎样?提示:若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”,则这个方程可能只是部分曲线的方程,而非整个曲线的方程.[题组自测]1.设k>1,则关于x,y的方程(1-k)x2+y2=k2-1表示的曲线是()A.长轴在y轴上的椭圆B.长轴在x轴上的椭圆C.实轴在y轴上的双曲线D.实轴在x轴上的双曲线答案:C
3、答案:A答案:半径为2的圆[归纳领悟]1.直接法求轨迹方程是求曲线方程的基本方法.圆锥曲线的标准方程都是由直接法求得的.当轨迹易于列出动点(x,y)满足的方程时可用此法.2.求动点轨迹时应注意它的完备性.化简过程破坏了方程的同解性,要注意补上遗漏的点或者挖去多余的点.“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念,前者指曲线的形状、位置、大小等特征,后者指方程(包括范围).[题组自测]1.动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2,则点P的轨迹是()A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D.一条射线解析:∵
4、PM
5、-
6、PN
7、=2,而
8、MN
9、=2,∴P点在线
10、段MN的延长线上.答案:D答案:D3.已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0)、B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是____________.解析:设抛物线焦点为F,过A、B、O作准线的垂线AA1、BB1、OO1,则
11、AA1
12、+
13、BB1
14、=2
15、OO1
16、=4,由抛物线定义得
17、AA1
18、+
19、BB1
20、=
21、FA
22、+
23、FB
24、,∴
25、FA
26、+
27、FB
28、=4,故F点的轨迹是以A、B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).[归纳领悟]1.运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义),可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立
29、关系式,从而求出轨迹方程.2.定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线,其方程是什么形式的方程.利用条件把待定系数求出来,使问题得解.[题组自测]1.已知定点A(2,0),它与抛物线y2=x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为()A.y2=2(x-1)B.y2=4(x-1)C.y2=x-1D.y2=(x-1)2.由抛物线y2=2x上任意一点P向其准线l引垂线,垂足为Q,连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于点R,求点R的轨迹方程.[归纳领悟]用代入法求轨迹方程的关系是寻求关系式x′=f(x,y),y′=g(x,y),然后代入已知曲线,而求对称曲线(轴
30、对称,中心对称等)方程实质上也是用代入法(相关点法)解题.一、把脉考情从高考试题来看,求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一,是高考中的一个热点题型,一般与平面向量相结合,多考查直接法与定义法.从形式上看多为解答题,难度中等,注重逻辑思维能力,运算能力的考查,预测2012年仍以直接法、定义法为主进行考查.二、考题诊断1.(2010·重庆高考)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是()A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线解析:在长方体ABCD-A1B1C1D1中建立如图所示的空间直角坐标系,易知直线AD与D1
31、C1是异面垂直的两条直线,过直线AD与D1C1平行的平面是面ABCD,设在平面ABCD内动点M(x,y)满足到直线AD与D1C1的距离相等,作MM1⊥AD于M1,MN⊥CD于N,NP⊥D1C1于P,连结MP,易知MN⊥平面CDD1C1,MP⊥D1C1,则有MM1=MP,
32、y
33、2=x2+a2(其中a是异面直线AD与D1C1间的距离),即有y2-x2=a2,因此动点M的轨迹是双曲线.答案:D2.(2010·上海高考)若动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程为__________.解析:由抛物线定义可知,点P的轨迹是以(2,0
34、)为焦点,以x=-2为准线的抛物线,其方程为y2=8
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