2013-2014学年高中数学 2.4.2 抛物线的简单几何性质知能演练 理（含解析）新人教a版选修2-1

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1、2013-2014学年高中数学2.4.2抛物线的简单几何性质知能演练理（含解析）新人教A版选修2-11．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　)A．x2＝16y　　　　　　　　B．x2＝8yC．x2＝±8yD．x2＝±16y解析：选D.顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.2．若抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若

2、AB

3、＝2，则抛物线

4、的焦点到直线AB的距离为(　　)A.B.C.D.解析：选A.线段AB所在的直线的方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝.3．已知直线y＝kx－k和抛物线y2＝2px(p＞0)，则(　　)A．直线和抛物线有一个公共点B．直线和抛物线有两个公共点C．直线和抛物线有一个或两个公共点D．直线和抛物线可能没有公共点解析：选C.∵直线y＝kx－k过定点(1,0)，∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．4．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等

5、于(　　)A.B．2C.D．15解析：选A.令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得4x2－8x＋1＝0，∴x1＋x2＝2，x1x2＝，∴

6、AB

7、＝＝＝.5．等腰Rt△AOB内接于抛物线y2＝2px(p＞0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是(　　)A．8p2B．4p2C．2p2D．p2解析：选B.∵抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.由方程组得或∴A，B两点的坐标分别

8、为(2p,2p)和(2p，－2p)．∴

9、AB

10、＝4p.∴S△AOB＝×4p×2p＝4p2.6．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.解析：由，得ax2－x＋1＝0，由Δ＝1－4a＝0，得a＝.答案：7．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为__________．解析：设抛物线C的方程为y2＝ax(a≠0)，由方程组得交点坐标为A(0,0)，B(a，a)，而点P(2,2)是AB的中点，从

11、而有a＝4，故所求抛物线C的方程为y2＝4x.答案：y2＝4x8．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么

12、PF

13、＝________.解析：∵直线AF的斜率为－，∴∠PAF＝60°.又∵

14、PA

15、＝

16、PF

17、，∴△PAF为正三角形．故

18、PF

19、＝

20、AP

21、＝2p＝8.答案：89．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，求P点横坐标及抛物线方程．解：设P(x，y)，则，∴或，∴P点横坐标为9或1，∴抛物线方程为y2

22、＝4x或y2＝36x.10．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，

23、AB

24、＝2，求抛物线方程．解：由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上．故可设抛物线方程为：y2＝ax(a≠0)．设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，所以点A与B关于x轴对称，∴

25、y1

26、＝

27、y2

28、且

29、y1

30、＋

31、y2

32、＝2，∴

33、y1

34、＝

35、y2

36、＝，代入圆x2＋y2＝4得x2＋3＝4，∴x＝

37、±1，∴A(±1，)或A(±1，－)，代入抛物线方程，得：()2＝±a，∴a＝±3.∴所求抛物线方程是：y2＝3x或y2＝－3x.1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　)A．(6，＋∞)B．[6，＋∞)C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)解析：选D.∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴＝3，即p＝6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．2．经过点(0，－2)的直线与抛物线y2＝8x交于A，B两点，若线段AB中点的横

38、坐标为2，则

39、AB

40、＝________.解析：设直线方程为y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，∵直线与抛物线交于A，B两点，∴k≠0，Δ＝16(k＋2)2－16k2＞0，即k＞－1且k≠0.又＝＝2，∴k＝2或k＝－1(舍)．∴

41、AB

42、＝

43、x1－x2

44、＝·＝＝2.答案：23．求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．解：(1)若直线斜率不存在，则过点P(0,1)的直线