高中数学 专题2.4.2 抛物线的简单几何性质教案 新人教a版选修2-1

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1、抛物线的简单几何性质【教学目标】1．知识与技能目标： （1）掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； （2）能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形； （3）在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 . 2．过程与方法目标：   （1）通过抛物线图像的探究，培养学生发现规律、认识规律并利 用规律解决实际问题的能力. （2）在抛物线性质的发现过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方法 3．情感态度与价值观目标： （1）通过抛物线性质的归纳过程获得培养学生探索数学的兴趣. （2）通过结论的推导培养学生求简意识并能懂得欣

2、赏数学的“简洁美”. （3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他 人合作交流的意识. 【重点难点】1.教学重点：抛物线的性质及应用．2.教学难点：抛物线的性质的应用．【教学过程】☆情境引入☆某公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA＝0.81米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图2所示.为使水流形状较为漂亮，设计成水流在与OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.☆探索新知☆预学1:在上述情境中，如果不

3、计其他因素，那么水池的半径至少要2.25米，才能使喷出的水流不致落到池外.议一议:影响抛物线开口大小的量是什么?是如何影响的?(抢答)【解析】影响抛物线开口大小的量是参数p.p值越大，抛物线的开口越开阔，反之，开口越扁狭.预学2:抛物线y2＝2px(p＞0)的一些简单几何性质(1)范围:因为p＞0，由方程y2＝2px可知，这条抛物线上任意一点M的坐标(x，y)满足等式.所以这条抛物线在y轴的右侧;当x的值增大时，

4、y

5、也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，它开口越开阔.(2)对称性:以－y代y，方程y2＝2px(p＞0)不变，因此这条抛物线是以x轴为对称轴的轴对

6、称图形，抛物线的对称轴叫作抛物线的轴.(3)顶点:抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的顶点.在方程y2＝2px(p＞0)中，当y＝0时，x＝0，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.(4)离心率:抛物线上的点与焦点和准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e表示，按照抛物线的定义，e＝1.(5)通径:过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的一条弦，称为抛物线的通径，通径长为2p，且通径是所有过焦点的弦中的最短弦.议一议:抛物线x2＝2py(p＞0)有几条对称轴?是否是中心对称图形?(指定小组回答，其他组补充)【解析】有一条对称轴，即y轴，不是中心对称图形.例题讲解考点一：抛物线的对称

7、性正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．[解析]　如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且它们坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)则：y＝2px1，y＝2px2．又

8、OA

9、＝

10、OB

11、，∴x＋y＝x＋y，即x－x＋2px1－2px2＝0，∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0．∵x1>0，x2>0,2p>0，∴x1＝x2，由此可得

12、y1

13、＝

14、y2

15、，即线段AB关于x轴对称．由于AB垂直于x轴，且∠AOx＝30°．∴＝tan30°＝，而y＝2px1，∴y1＝2p．于是

16、AB

17、＝2y1＝4p．考点二：

18、抛物线焦点弦的性质斜率为2的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．[解析]　如图，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0)，准线方程x＝－1．由题设，直线AB的方程为：y＝2x－2．代入抛物线方程y2＝4x，整理得：x2－3x＋1＝0．设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知，

19、AF

20、等于点A到准线x＝－1的距离

21、AA′

22、，即

23、AF

24、＝

25、AA′

26、＝x1＋1，同理

27、BF

28、＝x2＋1，∴

29、AB

30、＝

31、AF

32、＋

33、BF

34、＝x1＋x2＋2＝3＋2＝5．[方法规律总结]　解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义

35、将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．考点三：最值问题设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线焦点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求

36、PB

37、＋

38、PF

39、的最小值．[解析]　(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连AF交抛物线于P点，故最小值为