2012高考数学 考前冲刺第四部分专题十七 不等式选讲

《2012高考数学 考前冲刺第四部分专题十七 不等式选讲》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2012考前冲刺数学第四部分专题十七不等式选讲1.设a＝2－，b＝－2，c＝5－2，则a，b，c之间的大小关系是________．解析：　分别由a<0，b>0，c>0，再由b2－c2<0得bb>a2．设a，b∈R，若a2＋b2＝5，则a＋2b的最大值为________．解析：　由柯西不等式得(a2＋b2)(12＋22)≥(a＋2b)2，因为a2＋b2＝5，所以(a＋2b)2≤25.答案：　55．已知a>0，求证：－≥a＋－2.证明：　要证原不等式成立，只需证＋2≥a＋＋，即证a2＋＋4＋4≥2＋2＋2，只需证·≥，即证2≥a2＋＋2，只需证a2＋≥2.由基

2、本不等式知a2＋≥2，上式显然成立．∴原不等式成立．6．已知x，y，z均为正数，求证：＋＋≥＋＋.证明：　因为x，y，z均为正数，所以＋＝≥，同理可得＋≥，＋≥，当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得＋＋≥＋＋.7．已知x2＋2y2＋3z2＝，求3x＋2y＋z的最小值．9．设x＋y＋z＝1，求F＝2x2＋3y2＋z2的最小值．解析：　由柯西不等式，∵1＝(x＋y＋z)2＝2≤(2x2＋3y2＋z2)＝(2x2＋3y2＋z2)，∴F＝2x2＋3y2＋z2≥，当且仅当＝＝，且x＋y＋z＝1，即x＝，y＝，z＝时，F有最小值.10．已知a

3、、b、c为正数，且满足acos2θ＋bsin2θ

4、a

5、，

6、b

7、和1中最大的一个，当

8、x

9、>m时，求证：<2.证明：　由已知m≥

10、a

11、，m≥

12、b

13、，m≥1.又

14、x

15、>m，∴

16、x

17、>

18、a

19、，

20、x

21、>

22、b

23、，

24、x

25、>1，∴≤＋＝＋<＋＝1＋<1＋＝2.∴<2成立．12．已知n∈N*，求证：<＋＋…＋<.分别令k＝2,3，…，n得－<<1－；－<<－；…－<<－；将上述不等式相加得：－＋－＋…＋

26、－<＋＋…＋<1－＋－＋…＋－，即－<＋＋…＋<1－，∴－<1＋＋＋…＋<2－.14．求三个实数x，y，z使得它们同时满足下列方程2x＋3y＋z＝13,4x2＋9y2＋z2－2x＋15y＋3z＝82.15．已知函数f(x)＝

27、x－3

28、－2，g(x)＝－

29、x＋1

30、＋4.(1)若函数f(x)值不大于1，求x的取值范围；(2)若不等式f(x)－g(x)≥m＋1的解集为R，求m的取值范围．16．已知函数f(x)＝log2(

31、x－1

32、＋

33、x－5

34、－a)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；(2)当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围．解析：　(1)函数的定义域满足：

35、x－

36、1

37、＋

38、x－5

39、－a>0，即

40、x－1

41、＋

42、x－5

43、>a，设g(x)＝

44、x－1

45、＋

46、x－5

47、，则g(x)＝

48、x－1

49、＋

50、x－5

51、＝g(x)min＝4，f(x)min＝log2(4－2)＝1.(2)由(1)知，g(x)＝

52、x－1

53、＋

54、x－5

55、的最小值为4.

56、x－1

57、＋

58、x－5

59、－a>0，∴a<4，∴a的取值范围是(－∞，4)．17．已知函数f(x)＝

60、x－a

61、.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x

62、－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．所以当x<－3时，g(x)>5；当－3≤x≤2时，g(x)＝5

63、；当x>2时，g(x)>5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．方法二：(1)同方法一．(2)当a＝2时，f(x)＝

64、x－2

65、.设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．由

66、x－2

67、＋

68、x＋3

69、≥

70、(x－2)－(x＋3)

71、＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．18．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，当－1≤x≤1时，

72、f(x)

73、

74、≤1.求证：