高中数学 第二讲 讲明不等式的基本方法 2.3 反证法与放缩法达标训练 新人教a版选修4-5

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1、2.3反证法与放缩法更上一层楼基础·巩固1.设a3+b3=2，求证a+b≤2.思路分析：待证不等式中有小于等于号，不妨试用反证法，在假设a>2-b的情况下，结合a3+b3=2，构造完全平方式，出现矛盾不等式，问题得证.证明：假设a+b>2，则有a>2-b，从而a3>8-12b+6b2-b3,a3+b3>6b2-12b+8=6(b-1)2+2.因为6(b-1)2+2≥2，所以a3+b3>2，这与题设条件a3+b3=2矛盾，所以，原不等式a+b≤2成立.2.求证：(n∈N*且n≥2).思路分析：待证不等式的两端是整式，中间是n个式

2、子的和，利用式子对每一个式子作适当的变形，最后各式相加，达到适当放大或缩小的目的，宜用放缩法.证明：∵,∴,分别令k=2,3,4…,n得：.将这些不等式相加得：,∴.3.求证：1+<3.思路分析：左边较为复杂，右边为一常数，考虑对一般项进行放缩,再利用等比数列的求和公式，达到证明目的.证明：由（k是大于2的自然数），得<3.4.设a,b为不相等的两个正数，且a3-b3=a2-b2,求证：11，化简整理可得,(a+b)2=a2+2a

3、b+b2=a+b+aba2+ab+b2=a+b,故a+b>1，又(a+b)2>4ab，而(a+b)2=a2+2ab+b2=a+b+ab

4、子的符号进行作差放缩，达到证明目的.证明：由不等式的对称性，不妨设a≥b≥c，则3a-b-c>0,3b-c-a≥b+c+c-c-a=b+c-a>0.左式-右式=(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2≥(c-a)2+(a-b)2≥(a-b)2+(a-b)2=(a-b)2≥0.6.设a、b、c∈R+,且abc=1,求证：≤1.思路分析：考虑a、b、c∈R+,且abc=1,直接通分不容易证明，构造a=x3,b=y3,c=z3,且x、y、z∈R+，得：xyz=1，1+a+b=xyz+x3+y3≥xyz+xy(x+y)=xy(x+y+

5、z)，进而达到证明目的.证明：设a=x3,b=y3,c=z3,且x、y、z∈R+.由题意得：xyz=1.∴1+a+b=xyz+x3+y3.∴x3+y3-(x2y+xy2)=x2(x-y)+y2(y-x)=(x-y)2(x+y)≥0.∴x3+y3≥x2y+xy2.∴1+a+b=xyz+x3+y3≥xyz+xy(x+y)=xy(x+y+z).∴.同理：由对称性可得,,∴命题得证.综合·应用7.设a、b、c≥0，且a+b+c=3，求证：a2+b2+c2+abc≥.思路分析：先运用对称性确定符号，设a≤b≤c，则a≤1<，再使用基本不

6、等式可以避开讨论，作差比较作适当放缩.证明：不妨设a≤b≤c，则a≤1<.∴a-<0.又∵()2≥bc，即()2≥bc，也即bc(a-)≥(3-a)2(a-).∴左边=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)+abc=9-2a(b+c)+bc(a-)≥9-2a(3-a)+(3-a)2(a-)=9+(3-a)［(3-a)(a-)-a］=9-(3-a)［a2+a+4］=9-(-a3+2a2-a+12)=+a(a2-2a+1)=+a(a-1)2≥,∴a2+b2+c2+abc≥.8.设a、b、c∈R+，p∈R，求证：abc(ap+bp

7、+cp)≥ap+2(-a+b+c)+bp+2(a-b+c)+cp+2(a+b-c).思路分析：由于a,b,c大小关系未知，证起来不方便，先设出大小关系，再作差整理，通过适当的放缩达到证明目的.证明：不妨设a≥b≥c＞0，于是左边-右边=ap+1(bc+a2-ab-ca)+bp+1(ca+b2-bc-ab)+cp+1(ab+c2-ca-bc)=ap+1(a-b)［(a-b)+(b-c)］-bp+1(a-b)(b-c)+cp+1［(a-b)+(b-c)］(b-c)=ap+1(a-b)(a-c)+(a-b)(b-c)(-bp+1)+

8、cp+1(b-c)(a-c)≥(a-b)(b-c)(ap+1-bp+1+cp+1).如果p+1≥0，那么ap+1-bp+1≥0；如果p+1＜0，那么cp+1-bp+1≥0，故有(a-b)(b-c)(ap+1-bp+1+cp+1≥0，从而原不等式得证.9.设0≤a≤b≤c≤1，