高中数学第二章讲明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法教案新人教A版选修4-5

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1、2.3反证法与放缩法课堂探究1.反证法屮的数学语言剖析：反证法适宜证明“存在性问题，唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法.下而我们列举以下常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设.常见词语至少有一个至多有—个唯一一个不是不可能全都是否定假设•个也没有有两个或两个以上没有-或有一两个以上是有或存在不全不都是对某些数学语言的否定假设要准确，以免造成原则性的错课，有时在使用反证法时，对假设的否定也町以举一定的特例来说明矛盾，尤其在一些选择题中，更是如此.2.放缩法的尺度把握等问题剖析：（1）放缩法的

2、理论依据主要冇：①不等式的传递性；②等虽加不等虽为不等虽；③同分子（分母）异分母（分子）的两个分式人小的比较；④基木不等式与绝对值不等式的基木性质；⑤三角函数的值域等.（2）放缩法使用的主要方法：放缩法是不等式证明屮最重要的变形方法之一，放缩必须有Id标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考杳.常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等•比如：舍去或加上一些项：（卄守；将分了或分母放人（缩小）：丄1111一21»2—律k2A（A+D，^屮+屯着ER，A】寸•题型一利用

3、反证法证明不等式【例1】若才+川=2,求证:卄/<2.分析：本题结论的反面比原结论更具体、更简洁，宜用反证法.证法一：假设日+&>2,而$方+〃=(日一女扌+弓卅鼻。，但取等号的条件为a=b=Of显然不可能，.•./―日0+川>0.则a+t)=(日+b){a—ab+l)}>2(a—ab+If),而才+〃=2,故a—ab+l)<1.1+ab>a+i)N2".从而ab<1.・・・/+〃Vl+必<2.・・・Q+b)2=/+Z/+2$方<2+2日方<4.而由假设a+b>2,得@+矿>4,出现矛盾，故假设不成立，原结论成立,即a+b^2.证法二：假设日+方>2,则$>2—b,故2=a

4、+Z?3>(2—b)"+万'，即2>8—12力+6氏即(力一lTvO,这不可能，从而a+b^2.证法三：假设a+/;>2,则@+〃)3=/+F+3臼力(臼+方)>&由才+方'=2,得3ab(a+ti)>6.故臼力(臼+方)>2.又臼"+方'=(自+方)(才一自方+F)=2.:.ab(a+®>(曰+b)^a—ab+l)).C.a—ab+l)

5、,丨f(2)

6、,

7、丨f⑶丨中至少有一个不小丁*分析：当耍证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式吋，通常采用反证法.证明：假设

8、f(2)

9、,

10、H3)

11、都小于I，则

12、/(1)

13、+2

14、A2)

15、+

16、A3)

17、<2.@另一方面，由绝对值不等式的性质，有If⑴I+21A2)

18、+

19、A3)

20、2

21、Al)-2A2)+A3)

22、=

23、(1+p~~q)—2(4+2p+q)+(9+3p+q)

24、=2.②①②两式的结果矛盾，所以假设不成立,原来的结论正确,即

25、f(l)

26、,

27、f(2)

28、,

29、f(3)

30、中至少有一个不小于*.反思(1)在证明屮含有“至多”“至少”“最多”等词语时，常使用反证法证明.(2)在用反证法证明的过程中，

31、山于作出了与结论和反的假设，和当于增加了题设条件,因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推岀才盾.题型二利用放缩法证明不等式【例3】若77是大于1的自然数,求证冷+*+右+…+*<2.证明:•丄]___丄•用1)A—1k'A=2,3,4,・・・*+制+・・•++—-4-—I-•••-4—11X22X3(/2-1)・n斗+卜｛1+卜另+…+(诂1=2—<2.n反思(1)放缩法证明不等式主要是根据不等式的传递性进行交换，即欲证&>方，可换成证a>c且c>b,欲证a

32、，就会得岀错误的结论，而达不到预期的冃的，因此，在使用放缩法时要注意放缩的“度”.题型三易错辨析【例4】已知实数x,y,z不全为零.求证：y/x+xy+y+yjy+yz+z+yjz+zx+x>-

33、(x+y+z)错解:2(rjx+xy+y+y]y+yz+zz+zx+x)>yjx+xy+yjxy+y+yjy+yz+yjyz+z+yjz+xz+y]xz+x=y[^ly+y[yjy+y[yjy+y+z+y[^]x+z+y[xjx+z=p卄y+(y[y+y[z)y[y+~z+(yj~x+y[z)yjx+z,无法证