高中数学第二讲讲明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法自主训练新人教选修.docx

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1、2.3反证法与放缩法自主广场1.设M=,则（）A.M=1B.M<1C.M>1D.M与1大小关系不定思路解析:分母全换成210.答案:B2.设a,b,c∈R+,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P,Q,R同时大于零”的…（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件思路解析:必要性是显然成立的；当PQR>0时,若P,Q,R不同时大于零,则其中两个为负,一个为正,不妨设P>0,Q<0,R<0,则Q+R=2c<0,这与c>0矛盾,即充分性也成立.答案:

2、C3.已知a,b∈R+,下列各式中成立的是（）A.cos2θ·lga+sin2θ·lgblg(a+b)C.=a+bD.>a+b思路解析:cos2θ·lga+sin2θ·lgb0,lg11>0.所以=1.所

3、以lg9·lg11<1.答案:lg9·lg11<16.设x>0,y>0,A=,B=,则A,B的大小关系是_________.思路解析:A==B.答案:A(++…+)(n≥2).证明:∵=,>,,…,,又>,将上述各式的两边分别相加,得1+++…+>(++…+)·.∴(1++…+)>(++…+).8.已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd>1.求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.证明:假设a,b,c,d都是非负数.因为a+b=c+d=1,所以(a+b)(c+d)=

4、1,而(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd≥ac+bd,所以ac+bd≤1,这与ac+bd>1矛盾.所以假设不成立,即a,b,c,d中至少有一个为负数.9.已知f(x)=x2+px+q,求证:

5、f(1)

6、,

7、f(2)

8、,

9、f(3)

10、中至少有一个不小于.证明:假设

11、f(1)

12、,

13、f(2)

14、,

15、f(3)

16、都小于,则

17、f(1)

18、+2

19、f(2)

20、+

21、f(3)

22、<2,而

23、f(1)

24、+2

25、f(2)

26、+

27、f(3)

28、≥

29、f(1)+f(3)-2f(2)

30、=(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2.相互矛盾.

31、∴

32、f(1)

33、,

34、f(2)

35、,

36、f(3)

37、中至少有一个不小于.我综合我发展10.已知函数f(x)满足下列条件:(1)f()=1;(2)f(xy)=f(x)+f(y);(3)值域为［-1,1］.试证:不在f(x)的定义域内.思路解析:假设在f(x)的定义域内,则f()有意义,且f()∈［-1,1］.又由题设,得f()=f(·)=f()+f()=2［-1,1］,此与f()∈［-1,1］矛盾,故假设不成立.所以不在f(x)的定义域内.11.已知a,b,c∈R+,且a+b>c,求证:.证明:构造函数f(x)=(x∈R+

38、),任取x1,x2∈R+,且x1c,∴f(a+b)>f(c).即.又,∴.12.设a,b∈R,0≤x,y≤1,求证:对于任意实数a,b必存在满足条件的x,y使

39、xy-ax-by

40、≥成立.证明:假设对一切0≤x,y≤1,结论不成立,则有

41、xy-ax-by

42、<.令x=0,y=1,得

43、b

44、<;令x=1,y=0,得

45、a

46、<;令x=y=1,得

47、1-a-b

48、<;又

49、1-a-b

50、≥1-

51、a

52、-

53、b

54、>1--=矛盾.故假设不成立,原命题结论正确

55、.13.设Sn=(n∈N+),求证:对于正整数m,n且m>n,都有

56、Sm-Sn

57、<.证明:

58、Sm-Sn

59、=

60、

61、≤

62、

63、+

64、

65、+…+

66、

67、.∵

68、sin(n+1)

69、≤1,

70、sin(n+2)

71、≤1,…,

72、sinm

73、≤1,∴上式≤

74、

75、+

76、

77、+…+

78、

79、=++…+=［1-()m-n］<.∴原不等式成立.14.用反证法证明:钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半.证明:已知:在△ABC中,∠CAB>90°,D是BC的中点,求证:AD

80、于该边长的一半,那么,这条边所对的角为直角，”知∠A=90°,与题设矛盾.所以AD≠BC.(2)若AD>BC,因为BD=DC=BC,所以在△ABD中,AD>BD,从而∠B>∠BAD,同理∠C>∠CAD.所以∠B+∠C>∠BAD+∠CAD,即∠B+∠C>∠A.因为∠B+∠C=180°-∠A,所以180°-∠A>∠A,则∠A<90°,这与题设矛盾.由(1)(2)知AD>BC.