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《高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的几何性质课后导练 新人教b版选修1-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.3.2抛物线的几何性质课后导练基础达标1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p＞0),则( )A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点解析：∵直线y=kx-k过点（1,0），点（1，0）在抛物线y2=2px的内部，∴当k=0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点.答案：C2.抛物线x2=-4y的通径为AB，O为抛物线的顶点，则( )A.通径长为8，△AOB的面积为4B.通径长为-4，△AOB的面积为2
2、C.通径长为4，△AOB的面积为4D.通径长为4，△AOB的面积为2解析：∵抛物线x2=-4y,∴2p=4,即通径长为4，△AOB的面积为×2p×=×4×1=2.答案：D3.过点(0，-2)的直线与抛物线y2=8x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则｜AB｜等于( )A.2B.C.2D.解析：设直线方程为y=kx-2,A(x1,y1)、B(x2,y2).由得k2x2-4(k+2)x+4=0.∵直线与抛物线交于A、B两点，∴Δ=16(k+2)2-16k2>0,即k>-1.又∴k=2或k=-1(舍).∴｜AB｜=｜
3、x1-x2｜答案：C4.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p＞0),O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是( )A.8p2B.4p2 C.2p2D.p2解析：∵抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，∴由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.由方程组∴A、B两点的坐标分别为（2p,2p）和(2p,-2p).∴｜AB｜=4p.∴S△AOB=×4p×2p=4p2.答案：B5.过抛物线y2=8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为(
4、 )A.8B.16C.32D.61解析：由抛物线y2=8x的焦点为（2，0），得直线的方程为y=x-2.代入y2=8x,得（x-2）2=8x,即x2-12x+4=0.∴x1+x2=12,弦长=x1+x2+p=12+4=16.答案：B6.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.解析：由题可知抛物线y2=8x的准线过（-2，0）,故过此点的直线l:y=k(x+2).将直线方程代入抛物线方程可得k2(x+2)2=8x,化简得k2x2+(4k2-8)x
5、+4k2=0有公共点，即上述方程有解且解都大于或等于0.当k=0时，x=0成立；当k≠0时，解得-1≤k≤1且k≠0.综上所述，故-1≤k≤1.答案：-1≤k≤17.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上，则z=x2+y2+3的最小值是________.解析：∵点（x,y）在抛物线y2=4x上，∴x≥0.∵z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,∴当x=0时，z最小，其值为3.答案：38.抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若｜AB｜=4，则焦点到AB的距离为.解析：不妨设A（x,2），则（2）2=4x.∴x=
6、3.∴AB的方程为x=3,抛物线的焦点为（1，0）.∴焦点到准线的距离为2.答案：29.已知抛物线y2=6x,过点P(4，1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程.解法一：设直线上任意一点坐标为（x,y），弦的两个端点为P1（x1,y1）、P2(x2,y2).∵P1、P2在抛物线上，∴y21=6x1,y22=6x2.两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2).①∵y1+y2=2,代入①得k=∴直线的方程为y-1=3(x-4),即3x-y-11=0.解法二：设所求方程为y-1=k(x-4).由方程
7、组得ky2-6y-24k+6=0.设弦的两端点P1、P2的坐标分别是（x1,y1）(x2,y2)，则y1+y2=.∵P1P2的中点为（4，1），∴=2.∴k=3.∴所求直线方程为y-1=3(x-4),即3x-y-11=0.10.设抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.证明：∵抛物线的焦点为F（,0）,∴经过点F的直线AB的方程可设为x=my+,代入抛物线方程，得y2-2pmy-p2=0.设A（x1,y1）,B(x2,y2)，则
8、y1、y2是该方程的两根，∴y1y2=-p2.∵BC∥x轴，且点C在准线x=-上，∴点C的坐标为（-,y2）.∴直线OC的斜率为k=即k也是直线OA的斜率.∴直线AC经过原点O.综合运用11.椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点，C是AB的中点，若｜AB｜=2，OC的斜率为，求随圆
