高中数学 3.2 倍角公式和半角公式 3.2.2 半角的正弦余弦和正切课后导练 新人教b版必修4

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1、3.2.2半角的正弦余弦和正切课后导练基础达标1.若sin2α=,则cos（-α）的值为（）A.B.C.±D.±解析：cos(-α)=(coscosα+sin·sinα)=cosα+sinα,由于sin2α=,可利用(cosα+sinα)2=1+sin2α=.又∵sin2α=>,故2kπ+<2α<2kπ+.从而kπ+<α

2、等于（）A.B.C.D.解析：将原式配方得(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=,于是1-sin22θ=,∴sin22θ=.由已知,θ在第三象限,故θ∈(2kπ+π,2kπ+),从而2θ∈(4kπ+2π,4kπ+3π),故2θ在第一、二象限，所以sin2θ=.答案：C4.若,则sinα+cosα的值是（）A.B.C.1D.解析：由,①得，整理得=.②由①得=2.③②+③得,得sinα=.又由①得cosα=2sinα-1=2×-1=，故sinα+cosα=+=.答案：A5.若sin2α=,且α∈(,),则cosα-sinα的值是（）A.B.C.D.解析：∵

3、(cosα-sinα)2=1-sin２α=1-=,∴

4、cosα-sinα

5、=.由α∈(,),知cosα

6、cosθ

7、=,<θ<3π,则sin的值是（）A.B.C.D.解析：∵<θ<3π,<<，∴cosθ=.于是sin=.答案：C7.(2005上海高考,13)若cosα=且α∈(0,),则tan=__________.解析:∵α∈(0,),∴∈(0,).∴tan=.答案:8.函数f(x)=cosx-sin2x-cos2x+的最大值是_________.解析：f(x)=cosx-(1-cos2x)-(2cos2x-1)+=-

8、cos2x+cosx+=-(cosx-)2+2.当且仅当cosx=时,f(x)取最大值2.答案：2综合运用9.sin-sin+2sincos=_______________.解析：原式=sin-sin+2sincos=sin-sin+sin=sin-cos+sin=sin(-)+sin=-sin+sin==0.答案：010.已知0<α<β<,sinα与sinβ是方程x2-(cos40°)x+cos240°-=0的两根,则cos(2α-β)=_______.解析：∵Δ=2cos240°-4cos240°+2=2sin240°,∴x=cos40°±sin40°.∴x1=si

9、n45°cos40°+cos45°sin40°=sin85°,x2=sin45°cos40°-cos45°sin40°=sin5°.又由0°<α<β<90°,知β=85°,α=5°,∴cos(2α-β)=cos(-75°)=cos75°=cos(45°+30°)=.答案：11.已知cos(α+)=,≤α<,求cos(２α+)的值.解：cos(2α+)=cos2αcos-sin2αsin=(cos2α-sin2α).∵≤α+<,cos(α+)>0,由此知<α+<.∴sin(α+)=,从而有cos2α=sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)=2×()×=.sin２

10、α=-cos(2α+)=1-2cos2(α+)=1-2×（）2=.∴cos(2α+)=×()=.拓展探究12.在△ABC中,求证：tantan+tantan+tantan=1.证明：∵A、B、C是△ABC的三个内角，∴A+B+C=π.从而有=-.左边=tan(tan+tan)+tan·tan=tan·tan（+)(1-tan·tan)+tantan=tantan(-)(1-tantan)+tantan=1-tantan+tantan=1=右边.∴等式成立.