高中数学第三章三角恒等变换3.2倍角公式和半角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切学案新人教b版必修4

《高中数学第三章三角恒等变换3.2倍角公式和半角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切学案新人教b版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3.2.2　半角的正弦、余弦和正切基础知识基本能力1．了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦公式、余弦公式和正切公式的过程．(重点)2．掌握半角的正弦公式、余弦公式和正切公式．(重点、难点)1．理解倍角公式和半角公式的内在联系和结构特点．(重点、易混点)2．能用半角公式进行简单的三角恒等变换．(难点)3．能用三角函数的相关公式解决三角函数的综合问题．(重点、易错点)半角公式半角公式的推导过程如下表：如何确定公式中的正负号？答：根据“”的范围来确定，如果不能确定角“”的范围，“±”应保留．【自主测试

2、1】若cosα＝，则sin等于(　　)A．B．－C．±D．±解析：sin＝±＝±.答案：C【自主测试2】已知cosθ＝，且270°＜θ＜360°，则cos的值为(　　)A．B．－C．±D．－解析：∵270°＜θ＜360°，∴135°＜＜180°，∴cos＝－＝－＝－.答案：B【自主测试3】若cosα＝－，α是第三象限的角，则＝(　　)A．－B．C．2D．－2解析：解法一：由cosα＝－，且α是第三象限的角，得sinα＝－，又tan＝＝＝－3，∴＝＝－.解法二：∵cosα＝－，α为第三象限的角，∴

3、sinα＝－.∴tanα＝.由tanα＝＝，得tan＝或tan＝－3.又∵π＋2kπ＜α＜＋2kπ(k∈Z)，∴＋kπ＜＜＋kπ(k∈Z)．当k＝2n(n∈Z)时，＋2nπ＜＜＋2nπ，此时在第二象限，tan＜0；当k＝2n＋1(n∈Z)时，＋2nπ＜＜＋2nπ，此时在第四象限，tan＜0.∴tan＝－3.∴＝＝－.答案：A解读半角公式剖析：(1)半角公式是二倍角公式变形形式的一种具体化的表达方式，其本质是通过“单角”的三角函数值表示“半角”的三角函数值．(2)公式适用的条件：①半角的正弦和余弦

4、公式对任意的角都成立；②tan＝±和tan＝中要求α≠2kπ＋π，k∈Z，而tan＝中则要求α≠kπ，k∈Z.(3)因为tan＝及tan＝不含被开方数，且不涉及符号问题．所以在解题时，使用相对较为方便，但需注意该公式成立的条件．知识拓展半角公式是由倍角公式变形所得，主要体现了半角的正弦、余弦、正切与单角余弦的关系，除此，我们还可以把sinα，cosα，tanα统一用tan表示，显示了正弦、余弦、正切之间极强的内在联系．即sinα＝2sincos＝＝，cosα＝cos2－sin2＝＝，tanα＝＝

5、.题型一利用半角公式求值【例题1】求值：(tan5°－cot5°)·.分析：可以先将余切化正切，再用倍角公式；也可利用切化弦的思想；还可以用半角公式．解：解法一：原式＝·＝·＝－2··＝－2cot10°·tan10°＝－2.解法二：原式＝·＝·＝－·＝－2.解法三：原式＝·＝·＝·＝－2.反思对于化简求值要遵循三个“统一”，即统一角，统一函数名称，统一结构形式，另外还要有必要的切化弦、通分、角变换等常用技巧．题型二给值求值问题【例题2】已知sinα＝－，π＜α＜，求sin，cos，tan.分析：

6、先由sinα的值求出cosα的值，然后利用半角公式求解．解：∵π＜α＜，∴＜＜.又∵sinα＝－，∴cosα＝－.则sin＝＝＝，cos＝－＝－＝－，∴tan＝＝＝－2.反思在套用公式时，一定注意求解顺序和所用到的角的范围，还要注意选用公式要灵活多样．〖互动探究〗若将本例中“π＜α＜”改为“α为第三象限的角”结果又如何？解：sin＝±，cos＝±，tan＝－2.题型三恒等式的证明问题【例题3】求证：＝sin2α.分析：解答本题时，首先可将切化弦，然后利用半角公式、倍角公式化简．证明：证法一：原式

7、左边＝＝＝sinαcosα＝sin2α＝右边，故原式成立．证法二：原式左边＝＝＝＝＝sincoscosα＝sinαcosα＝sin2α＝右边．故原式成立．反思证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证等方法．常用的方法有定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．题型四三角函数的综合问题【例题4】

8、设函数f(x)＝cos＋sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB＝，f＝－，且C为锐角，求sinA．分析：(1)先利用两角和的余弦公式和降幂公式统一角，再化为正弦型函数求f(x)的最大值和最小正周期．(2)注意A＋B＋C＝π，并利用两角和的正弦公式求sin(B＋C)，即为sinA．解：(1)f(x)＝cos＋sin2x＝cos2xcos－sin2xsin＋＝－sin2x，所以函数f(x)的最大值为，最小正周期为π.(2)由(1)可得