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时间：2018-12-21
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1、立体几何空间角的计算一、运用向量的坐标运算解决立体几何中的角的问题在立体几何中，涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等.关于角的计算，均可归结为求两个向量夹角.对于空间向量a，b，有.利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中的角的问题.求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，可求两向量的坐标，也可以把所求向量用一组基向量表示，两向量的夹角范围是，而两异面直线所成角的范围是，应注意区别.直线与平面的夹角，是直线的方向向量l与平面的法向量n的夹角（锐角）的余角，故有.设n 1，n 2分别是二面角的面的法向量，则2、 1，n 2>就是所求二面角的平面角或其补角的大小.①解决异面直线所成角问题例1已知直四棱柱中,底面是直角梯形,为直角,∥，，，,.求异面直线与所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)解：如图,以为坐标原点,分别以、、所在直线为、、轴建立直角坐标系.则，，∴,,设与所成的角为,则=，.∴异面直线与所成角的大小为②解决二面角问题例2在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,平面⊥底面．（Ⅰ）证明⊥平面；（Ⅱ）求面与面所成的二面角的大小．证明：（Ⅰ）同例1.（Ⅱ）由（Ⅰ）得是面的法向量设是面的法向量，则∴，又由题意知，面与面所成的二面角为锐角，所以其大小为.评注：求二面3、角大小可转化为求两个平面的法向量的夹角大小，两平面法向量的夹角与二面角的大小相等或互补，解题时要注意结合题目条件进一步确定二面角的大小.练习：ABCDEA1B1C1D11、如图，正四棱柱中，，点在上且．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的大小．2、如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面（I）证明：（II）设二面角为60°，求与平面所成的角的大小。3、如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；4、如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC4、=FE=AD(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。5、如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，（Ⅰ）求证：面；（Ⅱ）求二面角的大小。（Ⅲ）求三棱锥的体积。6、如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.7、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（I）求证：；（II）设线段、的中点分别5、为、，求证：∥（III）求二面角的大小。8、如图，已知等腰直角三角形，其中∠=90º，．点A、D分别是、的中点，现将△沿着边折起到△位置，使⊥，连结、．求二面角的平面角的余弦值．ABCDEA1B1C1D1yxz参考答案1、以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系．依题设，．，．3分（Ⅰ）因为，，故，．又，所以平面．6分（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则，．故，．令，则，，．9分等于二面角的平面角，．所以二面角的大小为．…………………………………………12分3、如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，设，由已知可得.（Ⅰ）∵，∴，∴BC⊥AP.又∵，∴BC⊥A6、C，∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，∴，∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵，∴.∴与平面所成的角的大小.4、如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得（I）所以异面直线与所成的角的大小为.（II）证明：，（III）又由题设，平面的一个法向量为5、以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，则∵分别是的中点∴（Ⅰ）取，显然面，∴又面∴面（Ⅱ）过作，交于，取的中点，则∵设，则又由，及在直线上，可得:解得∴∴即∴与所夹的角等于二面角的大7、小故：二面角的大小为（Ⅲ）设为平面的法向量，则又∴即∴可取∴点到平面的距离为∵，∴∴6、如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），（Ⅰ）因为，平面PAB的一个法向量是，所以共线.从而BE⊥平面PAB.又因为平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB.(Ⅱ)易知设是平面PBE的一个法向量，则由得所以设是平面PAD的一个法向量，则由得所以故可取于是，故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是7、因等腰直角三角形，，所以又因为平面，所以⊥平面，所以即两两垂直；如图建立空间直角坐标系,(I)设
2、 1，n 2>就是所求二面角的平面角或其补角的大小.①解决异面直线所成角问题例1已知直四棱柱中,底面是直角梯形,为直角,∥，，，,.求异面直线与所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)解：如图,以为坐标原点,分别以、、所在直线为、、轴建立直角坐标系.则，，∴,,设与所成的角为,则=，.∴异面直线与所成角的大小为②解决二面角问题例2在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,平面⊥底面．（Ⅰ）证明⊥平面；（Ⅱ）求面与面所成的二面角的大小．证明：（Ⅰ）同例1.（Ⅱ）由（Ⅰ）得是面的法向量设是面的法向量，则∴，又由题意知，面与面所成的二面角为锐角，所以其大小为.评注：求二面
3、角大小可转化为求两个平面的法向量的夹角大小，两平面法向量的夹角与二面角的大小相等或互补，解题时要注意结合题目条件进一步确定二面角的大小.练习：ABCDEA1B1C1D11、如图，正四棱柱中，，点在上且．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的大小．2、如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面（I）证明：（II）设二面角为60°，求与平面所成的角的大小。3、如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；4、如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC
4、=FE=AD(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。5、如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，（Ⅰ）求证：面；（Ⅱ）求二面角的大小。（Ⅲ）求三棱锥的体积。6、如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.7、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（I）求证：；（II）设线段、的中点分别
5、为、，求证：∥（III）求二面角的大小。8、如图，已知等腰直角三角形，其中∠=90º，．点A、D分别是、的中点，现将△沿着边折起到△位置，使⊥，连结、．求二面角的平面角的余弦值．ABCDEA1B1C1D1yxz参考答案1、以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系．依题设，．，．3分（Ⅰ）因为，，故，．又，所以平面．6分（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则，．故，．令，则，，．9分等于二面角的平面角，．所以二面角的大小为．…………………………………………12分3、如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，设，由已知可得.（Ⅰ）∵，∴，∴BC⊥AP.又∵，∴BC⊥A
6、C，∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，∴，∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵，∴.∴与平面所成的角的大小.4、如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得（I）所以异面直线与所成的角的大小为.（II）证明：，（III）又由题设，平面的一个法向量为5、以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，则∵分别是的中点∴（Ⅰ）取，显然面，∴又面∴面（Ⅱ）过作，交于，取的中点，则∵设，则又由，及在直线上，可得:解得∴∴即∴与所夹的角等于二面角的大
7、小故：二面角的大小为（Ⅲ）设为平面的法向量，则又∴即∴可取∴点到平面的距离为∵，∴∴6、如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），（Ⅰ）因为，平面PAB的一个法向量是，所以共线.从而BE⊥平面PAB.又因为平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB.(Ⅱ)易知设是平面PBE的一个法向量，则由得所以设是平面PAD的一个法向量，则由得所以故可取于是，故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是7、因等腰直角三角形，，所以又因为平面，所以⊥平面，所以即两两垂直；如图建立空间直角坐标系,(I)设
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