3.2.3空间角的计算

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1、3.2.3空间角的计算攸县一中洪开科abab1．异面直线a,b所成的角计算直线a,b的方向向量的角,注意写为锐角,即cosθ=,ll2．斜线a与平面所成的角计算平面法向量的角,注意与其锐角互余,即sinθ=3．二面角计算两平面的法向量的角,注意与其相等或互补.理解符号的选择：同锐同钝取正号，一锐一钝取负号二面角的平面角方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图设二面角α-l-β的大小为θ其中ABα，AB⊥l，CDβ，CD⊥l.DClBAF1D1C1B1A1BCA例1．在RtΔA

2、BC中，∠ACB=90°，现将ΔABC沿着平面ABC的法向量平移到ΔA1B1C1的位置，已知BC=CA=CC1，取A1B1，A1C1的中点D1，F1，求AF1与BD1所成角的余弦值．xyz解：如图建立空间直角坐标系C-xyz设BC=2，则Ａ(2,0,0)，F1(1,0,2)，B(0,2,0)，D1(1,1,2)所以AF1与BD1所成角的余弦值为例2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=6，AD=8，AA1=6，M为B1C1上的一点，且B1M=2，点N在线段A1D上，A1N=5，求AD与平面ANM所成角的余弦值．解：如图建立空间直

3、角坐标系A-xyz∵A1D=10，A1N=5，∴N是A1D的中点,∴N(0,4,3)NABCDD1A1B1C1Mxyz设平面ANM的法向量为设y=3解得为所求角的余弦值．设平面SCD的法向量为ABDCSxyz例3．在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，若SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，求面SCD与面SBA所成二面角的余弦值．解：如图建立空间直角坐标系A-xyz则S(0,0,2)，C(-2,2,0)，D(0,1,0)设x=1，解得易知平面SBA的法向量为例４．如图,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA

4、⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，在线段BC上是否存在一点E，使PA与平面PDE所成角的大小为45°？若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由.ABDCPExyz解：如图建立空间直角坐标系A-xyz设BE=m，则P(0,0,1)，E(m,1,0)，设平面PDE的法向量为设x=1，解得PA与平面PDE所成角的大小为45°1．如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．90°五、迁移练习3．在三

5、棱锥O-ABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA=OB=OC,M是AB的中点，则OM与平面ABC所成角的余弦值是()2．△ABC的顶点B在平面α内，A、C在α的同一侧，AB、BC与α所成的角分别是30°和45°,若AB=3,BC=,AC=5,则AC与α所成的角为()A．60°B．45°C．30°D．15°4．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是=(1,0,1)，=(0,1,1)，那么这条斜线与平面所成的角是.5．已知两平面的法向量分别=(0,1,0),=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为.60°13

6、5°6．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M为B1C1上的一点，且B1M=2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN.(1)求证：A1D⊥AＭ.(2)求AD与平面ANM所成角的正弦值．解：如图建立空间直角坐标系A-xyz∵A1(0,0,4),D(0,8,0)NABCDD1A1B1C1Mxyz∴A1D⊥AＭ.(2)由(1)知A1D⊥AＭ,又A1D⊥AN.∴A1D⊥平面ANM.∴AD与平面ANM所成角是∠DAN.所以AD与平面ANM所成角的正弦值为7．如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°

7、，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值(2)OS与面SAB所成角的余弦值(3)二面角B－AS－O的余弦值OABCSxyz