§3.2.3空间角的求法

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1、§3.2空间向量在立体几何中的应用第三节：空间角及其求法教学目的：1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离；2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。教学重点：向量法在立体几何中求空间的夹角的应用教学难点：利用向量求三种空间角的原理授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：一、复习引入：平行关系、垂直关系的向量表示：二、讲授新课：展示线与线、线与面、面与面的成角大小不同，提出问题，如何求它们所成角的大小，引出本节课的内容：空间角及其求法.问题1：先来看线与线所

2、成的角，当两直线相交时，所成角有几个？如何定义所成角？当两直线异面（不同在任意一个平面内的两条直线叫做异面直线）时，如何定义所成角呢？1、异面直线所成的角：（1）定义：把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角（锐角或直角）叫做两条异面直线所成的角.如果所成的角是直角，则称两条直线互相垂直.（2）范围：（0，]问题：当两直线垂直时，如何用向量表示？当两直线不垂直时，我们知道它们的夹角有大小之分，如何求两直线所成角呢？（3）求法：设异面直线a,b所成角为，由于两直线的方向向量所成角与两直线所成角要么相等，要么互补，

3、因此2、直线与平面所成的角：（1）定义：斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）（2）范围：（0，]（3）求法：设直线与平面所成角为，由于直线与平面所成角与直线的方向向量和平面的法向量所成角或它的补角互余，因此3、二面角：（1）定义：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，记作：第4页（共4页）（2）在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面内分别作射线OA⊥，OB⊥，

4、则∠AOB叫做二面角的平面角，思考：平面角的大小与点O的位置有关吗？因此，二面角的大小可用它的平面角来度量.二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度.平面角是直角的二面角叫做直二面角，互相垂直的平面就是相交成直二面角的两个平面.（2）范围：[0，π]（3）求法：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量与，则平面α与β所成的角跟法向量与所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。二面角的大小视具体情况定三、典型例题：例1、已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点。求证：

5、（1）A1C⊥AC；（2）A1C⊥平面BC1D（3）AB1//平面C1BD.求：（1）D1E与C1D所成角的大小（用余弦值表示）A1B1C1D1ABCDExyz（2）D1E与平面BC1D所成角的大小（用余弦值表示）（3）求二面角A1-BD-C1的大小.第4页（共4页）反思归纳：向量法求空间角的原理：将异面直线间的夹角转化为空间向量的夹角。步骤：（1）建系；（2）写坐标；（3）求向量（方向向量、法向量）；（4）求角的余弦；（5）答例2、如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的

6、中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC1//平面CDB1；（3）求AB与平面BCD所成的角的大小；解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.解法一：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC1的

7、中点，ABCA1B1C1Exyz∴DE//AC1，∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1//平面CDB1；解法二：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0）（1）∵＝（－3,0，0），＝（0，－4,0），∴•＝0，∴AC⊥BC1.（2）设CB1与C1B的交

8、战为E，则E（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4），∴，∴DE∥AC1.（3）第4页（共4页）反思归纳：先处理平面的法向量，再求直线的方向向量与法向量夹角间的夹角转化为线面角。例3、如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，AB=2，PA=4（I）求证：BD⊥FG；（II）求二